３次式の因数分解

３次式を因数分解するとき、公式の適用をまず考えます。
公式が適用できないとき、因数定理を用います。

例題１

有理数の範囲で、$x^3-7x-6$ を因数分解しなさい。

解説

公式で因数分解できないので、因数定理を使います。

$P(x)=x^3-7x-6$ とおきます。

$x^3-7x-6=(x-k)Q(x)$ と因数分解されるので、
このような $k$ を因数定理で探します。
$P(k)=0$ を満たす $k$ ですね。

$P(k)=0$ を満たす $k$ はあてはめで探すしかありませんが、
探し方は確立されています。

$P(x)=x^3-7x-6$ においては、

$\pm \displaystyle \frac{6の約数}{1}$

なので、$\pm 1,\pm2,\pm3,\pm6$ が候補です。

順番に、$P(x)=x^3-7x-6$ に代入して探すしかありません。

$P(-1)=(-1)^3-7\cdot(-1)-6=0$
が見つかります。

よって、
$x^3-7x-6=(x+1)Q(x)$ と因数分解できることがわかりました。

$Q(x)$ は実際に割算をして求めるんですよ。
計算すると以下のようになります。

$x^3-7x-6=(x+1)(x^2-x-6)$

$2$ 次式の部分は、今までの因数分解の知識で因数分解ができますね。

$x^3-7x-6=(x+1)(x^2-x-6)$
$=(x+1)(x+2)(x-3)$

これで完了です。

参考

$P(x)=x^3-7x-6=(x+1)(x+2)(x-3)$
ということは、
$P(-1)=0$
$P(-2)=0$
$P(3)=0$
のすべてが成立します。
つまり、はじめに因数を探すとき、
$P(-2)=0$ や $P(3)=0$ から見つかっても良いということです。

例題２

有理数の範囲で、$2x^3-3x^2+7x-3$ を因数分解しなさい。

解説

公式で因数分解できないので、因数定理を使います。

$P(x)=2x^3-3x^2+7x-3$ とおきます。

$P(k)=0$ を満たす $k$ の候補は

$\pm \displaystyle \frac{3の約数}{2}$

なので、$\pm 1,\pm3,\pm\displaystyle \frac{1}{2},\pm\displaystyle \frac{3}{2}$ が候補です。

順番に、$P(x)=2x^3-3x^2+7x-3$ に代入して探すしかありません。

$P(\displaystyle \frac{1}{2})=2(\displaystyle \frac{1}{2})^3-3(\displaystyle \frac{1}{2})^2+7(\displaystyle \frac{1}{2})-3=0$
が見つかります。

よって、
$2x^3-3x^2+7x-3=(x-\displaystyle \frac{1}{2})Q(x)$ と因数分解できます。

つまり、

$2x^3-3x^2+7x-3=2×(x-\displaystyle \frac{1}{2})×\displaystyle \frac{1}{2}×Q(x)$

$2x^3-3x^2+7x-3=(2x-1)×\displaystyle \frac{1}{2}×Q(x)$

$\displaystyle \frac{1}{2}×Q(x)$ は実際に割り算をして求めます。

$2x^3-3x^2+7x-3÷(2x-1)=(x^2-x+3)$ より

$2x^3-3x^2+7x-3=(2x-1)(x^2-x+3)$