\(2\) 次不等式　接する場合

\(2\) 次関数のグラフが、 \(x\) 軸と接するときの
\(2\) 次不等式を見ていきましょう。

\(2\) 次不等式は、必ず図示をして考えましょう。

\(2\) 次関数のグラフが \(x\) 軸と接するときは、
\(4\) つのケースがあります。

順に見ていきましょう。

例題１

次の \(2\) 次不等式を解きなさい。

\(x^2-6x+9 \geqq 0\)

解説

\(y=x^2-6x+9\) のグラフをかきましょう。
グラフと \(x\) 軸との位置関係や、共有点の座標が知りたいのです。

\(x^2-6x+9=0\) を解くと、
\((x-3)^2=0\)
よって、
この \(2\) 次方程式の解は、\(x=3\)
解が \(1\) つだけのとき、グラフと \(x\) 軸は接します。

よって、\(y=x^2-6x+9\) のグラフは下図のようになります。

\(y \geqq 0\) となる範囲が求める \(x\) の範囲です。

よって、求める解は「すべての実数」です。

例題２

次の \(2\) 次不等式を解きなさい。

\(x^2+4x+4 \leqq 0\)

解説

\(x^2+4x+4=0\) を解くと、
\((x+2)^2=0\)
\(x=-2\) ただ \(1\) つです。

よって、\(y=x^2+4x+4\) のグラフは下図のようになります。

\(y \leqq 0\) となる範囲が求める \(x\) の範囲である。

求める解は、\(x=-2\) です。

\(x=-2\) のとき、 \(y=0\) なので、\(y \leqq 0\) の条件にあいます。
\(x\) が他の値をとると、\(y \gt 0\) となり、条件にあいません。

\(x=-2\) ただ\(1\) つだけが条件にあうのです。

例題３

次の \(2\) 次不等式を解きなさい。

\(x^2-2x+1 \gt 0\)

解説

\(x^2-2x+1=0\) を解くと、
\((x-1)^2=0\)
よって、
この \(2\) 次方程式の解は、\(x=1\)
解が \(1\) つだけのとき、グラフと \(x\) 軸は接します。

よって、\(y=x^2-2x+1\) のグラフは下図のようになります。

\(y \gt 0\) となる範囲が求める \(x\) の範囲である。

求める解は、「\(1\) 以外のすべての実数」です。

\(x=1\) のとき、 \(y=0\) で条件にあいません。
それ以外の \(x\) はすべて \(y \gt 0\) を満たします。

例題４

次の \(2\) 次不等式を解きなさい。

\(x^2-10x+25 \lt 0\)

解説

\(x^2-10x+25=0\) を解くと、
\((x-5)^2=0\)
より、
\(x=5\)

よって、\(y=x^2-10x+25\) のグラフは下図のようになります。

\(y \lt 0\) となる範囲が求める \(x\) の範囲である。

求める解は、「なし」です。

解がない、が答えとなります。