余弦定理

\(\triangle ABC\) において、以下の式が成り立ちます。
これを余弦定理といいます。

\(a^2=b^2+c^2-2bc \cos A\)
\(b^2=c^2+a^2-2ca \cos B\)
\(c^2=a^2+b^2-2ab \cos C\)

\(3\) つの式はいずれも対称的になっていますね。
\(a\) からはじまる式にでてくる角は、対角の \(A\) です。

※内角の \(1\) つか鈍角のときも、余弦定理は成り立ちます。
※三平方の定理 \(c^2=a^2+b^2\) に、微調整をしているのが余弦定理です。

なぜこれが成り立つのか、は別ページに譲ります。
この定理をどのように用いるのか、まずは例題演習をしましょう。

例題１

次のような三角形 \(ABC\) において、指定されたものを求めなさい。

\(b=4,c=\sqrt{3},A=30°\) のとき、長さ \(a\)

解説

ここで余弦定理の最重要ポイントです！

わかっている角か、求めたい角の対辺からはじまる式を用います。

暗記してくださいね。

では解きましょう。
\(b=4,c=\sqrt{3},A=30°\) のとき、長さ \(a\) です。

分かっている角は \(A\) なので、その向かいの辺 \(a\) からはじまる式です。

\(a^2=4^2+(\sqrt{3})^2-2×4×\sqrt{3}× \cos 30°\)

\(a^2=16+3-2×4×\sqrt{3} ×\cos 30°\)

\(\cos 30°=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\) なので、

\(a^2=7\)
\(a=\pm \sqrt{7}\)

\(a\) は \(0\) より大きいので、

\(a=\sqrt{7}\)

ちなみに、\(2\) 辺とその間の角が与えられていますので、
三角形は \(1\) つに定まります。
いわゆる三角形の合同条件ですね。

三角形が \(1\) つに定まらない問題もあり、
\(2\) つの答えがでるようなものもあります。

例題2

次のような三角形 \(ABC\) において、指定されたものを求めなさい。

\(a=1,b=\sqrt{2},c=\sqrt{5}\) のとき、角 \(C\)

解説

求めたい角 \(C\) の向かいの辺 \(c\) からはじまる式です。

\((\sqrt{5})^2=1^2+(\sqrt{2})^2-2×1×\sqrt{2} × \cos C\)

\(5=1+2-2\sqrt{2}× \cos C\)

\(2\sqrt{2}× \cos C=-2\)

\(\cos C=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\)

よって、
\(C=135°\)

ちなみに、\(3\) 辺が与えられていますので、
三角形は \(1\) つに定まります。
いわゆる三角形の合同条件ですね。

例題３

次のような三角形 \(ABC\) において、指定されたものを求めなさい。

\(a=1,b=\sqrt{3},A=30°\) のとき、長さ \(c\)

解説

分かっている角は \(A\) なので、その向かいの辺 \(a\) からはじまる式です。

\(1^2=c^2+(\sqrt{3})^2-2×\sqrt{3}×c× \cos 30°\)

\(1=c^2+3-2×1×\sqrt{3} ×c×\cos 30°\)

\(\cos 30°=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\) なので、

\(c^2-3c+2=0\)

\((c-1)(c-2)=0\)

\(c=1,2\)

あれ、答えが \(2\) つでてきた・・・
どっちかは不適かな？

ちなみにどちらもＯＫです。
はじめに与えられたものが 「\(2\) 辺の長さ」と「その間でない角の大きさ」だったわけです。
中学のときに学習した三角形の合同条件ではありませんね。
つまり、三角形が \(1\) つに定まらない条件だったわけです。

別解

余弦定理で解いたこの例題 \(3\) は、
実は正弦定理でも解答可能です。

\(a=1,b=\sqrt{3},A=30°\) のとき、長さ \(c\) です。
正弦定理でいってみましょー！

\(\displaystyle \frac{1}{\sin 30°}=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sin B}\)

\(\sin B=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(B=60°,120°\)

あれ、どちらがは不適なのかな？
どちらもＯＫです。

この続きは、
正弦定理でも
余弦定理でも
求められますが、図示してしまうのも早いです。

\(B=60°\) のとき

\(A=30°\) が与えられているので、三角形の内角より、\(C=90°\) なので、これを用いて
\(c=2\) が求まります。
三角定規型です。

\(B=120°\) のとき

\(A=30°\) が与えられているので、三角形の内角より、\(C=30°\) なので、これを用いて
\(c=1\) が求まります。
\(30°,60°,90°\) の三角定規 \(2\) つ分の二等辺三角形になります。

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