比例式の条件つきの等式の証明

\(\displaystyle \frac{a}{b}=\displaystyle \frac{c}{d}\) のように比例式が与えられたときは、

\(\displaystyle \frac{a}{b}=\displaystyle \frac{c}{d}=k\) とおくのが定石です。

\(a=bk,c=dk\) であるから、これを代入して文字の数を減らします。

また
\(a:b=c:d\) のとき、

\(\displaystyle \frac{a}{b}=\displaystyle \frac{c}{d}\)

\(\displaystyle \frac{a}{c}=\displaystyle \frac{b}{d}\)

\(ad=bc\)

などが成り立ちます。
適宜利用しましょう。

例題１

次の等式を証明しなさい。
\(\displaystyle \frac{a}{b}=\displaystyle \frac{c}{d}\) のとき、

\(\displaystyle \frac{a^2-4c^2}{b^2-4d^2}=\displaystyle \frac{ac}{bd}\)

解説

\(\displaystyle \frac{a}{b}=\displaystyle \frac{c}{d}=k\) とおくと、
\(a=bk,c=dk\) であるから、これを代入すると

（左辺）=\(\displaystyle \frac{(bk)^2-4(dk)^2}{b^2-4d^2}\)

\(=\displaystyle \frac{k^2(b^2-4d^2)}{b^2-4d^2}\)

\(=k^2\)・・・①

（右辺）\(=\displaystyle \frac{(bk)(dk)}{bd}\)

\(= \displaystyle \frac{(k^2bd)}{bd}\)

\(=k^2\)・・・②

①、②より、\(\displaystyle \frac{a^2-4c^2}{b^2-4d^2}=\displaystyle \frac{ac}{bd}\) が成り立つ。

参考

\(\displaystyle \frac{a}{b}=\displaystyle \frac{c}{d}=k\) とおいて、文字を \(1\) つ増やしています。しかし、\(a=bk,c=dk\) として、 \(a,c\) の　\(2\) つの文字を減らしているので、
結果、 \(1\) つ文字を減らすことができています。

また、\(k\) という新しい文字を用いなくとも、

\(\displaystyle \frac{a}{b}=\displaystyle \frac{c}{d}\) より、

\(a=\displaystyle \frac{bc}{d}\) として、

\(a\) を消すこともできます。
これで計算を進めていけば、等式を証明することは可能です。

しがし、計算が煩雑になることが多いので、おすすめはしません。

例題２

次の等式を証明しなさい。
\(a:b:c=x:y:z\) のとき、

\(\displaystyle \frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\displaystyle \frac{xy+yz+zx}{ab+bc+ca}\)

解説

\(a:b:c=x:y:z\) のとき、\(\displaystyle \frac{a}{x}=\displaystyle \frac{b}{y}=\displaystyle \frac{c}{z}\) です。

\(\displaystyle \frac{a}{x}=\displaystyle \frac{b}{y}=\displaystyle \frac{c}{z}=k\) とおくと、

\(a=kx,b=ky,c=kz\) となり、これを代入します。

(左辺)\(=\displaystyle \frac{x^2+y^2+z^2}{(kx)^2+(ky)^2+(kz)^2}\)

\(=\displaystyle \frac{x^2+y^2+z^2}{k^2(x^2+y^2+z^2)}=\displaystyle \frac{1}{k^2}\)・・・①

(右辺)\(=\displaystyle \frac{xy+yz+zx}{(kx)(ky)+(ky)(kz)+(kz)(kx)}\)

\(=\displaystyle \frac{xy+yz+zx}{k^2xy+k^2yz+k^2zx}\)

\(=\displaystyle \frac{xy+yz+zx}{k^2(xy+yz+zx)}=\displaystyle \frac{1}{k^2}\)・・・②

①、②より、\(\displaystyle \frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\displaystyle \frac{xy+yz+zx}{ab+bc+ca}\) が成り立つ。

例題３

\(x:y=3:4\) のとき

\(\displaystyle \frac{2x-y}{x+3y}\) の値を求めなさい。

解説

等式の証明ではありませんが、類題ですね。

\(x:y=3:4\) のとき外項の積と内項の積が等しいので、
\(4x=3y\)
よって、
\(x=\displaystyle \frac{3y}{4}\) であり、これを代入します。

\(\displaystyle \frac{2x-y}{x+3y}\)

\(=\displaystyle \frac{2(\displaystyle \frac{3y}{4})-y}{(\displaystyle \frac{3y}{4})+3y}\)

\(=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{2}y}{\displaystyle \frac{15}{4}y}\)

\(=\displaystyle \frac{2}{15}\)