条件つきの等式の証明

条件つきの等式の証明ですが、
条件式を用いて文字を消去します。

その後、式変形をして、
（左辺）＝（右辺）
を示します。

当然ですが、条件外では等式は成り立たないことがほとんどであり、
条件成立のときの等式を調べるわけです。

例題１

\(a+b=1\) のとき、次の等式を証明しなさい。
\(a^3+b^3=1-3ab\)

解説

\(a+b=1\) より、
\(a=1-b\) なのでこれを代入すると

(左辺)\(=(1-b)^3+b^3\)
\(=1-3b+3b^2-b^3+b^3\)
\(=3b^2-3b+1\)・・・①

(右辺)\(=1-3(1-b)b\)
\(=1-3b+3b^2\)・・・②

①、②より、左辺と右辺が等しいので、
\(a^3+b^3=1-3ab\)

例題２

\(x+y+z=0\) 、 \(xyz \neq 0\) のとき、

\(\displaystyle \frac{y+z}{x}+\displaystyle \frac{z+x}{y}+\displaystyle \frac{x+y}{z}+3=0\)

解説

\(xyz \neq 0\)
はどうやって使うの？
という疑問を持っている人もいますね。

\(xyz \neq 0\)
とは
\(x \neq 0\)　かつ \(y \neq 0 \)　かつ　\(z \neq 0 \)
を表しています。

これは、分母が \(0\) であってはならないという数学の掟があるからです。
分母が \(0\) でない範囲でこの等式の成立を証明してね、ということです。

証明

\(xyz \neq 0\) なので、
\(x \neq 0\)
\(y \neq 0 \)
\(z \neq 0 \)
さて、\(x+y+z=0\)　より、
\(x=-y-z\) です。

これを左辺に代入すると、
(左辺)\(=\displaystyle \frac{y+z}{-y-z}+\displaystyle \frac{z+(-y-z)}{y}+\displaystyle \frac{(-y-z)+y}{z}+3\)

\(=\displaystyle \frac{y+z}{-(y+z)}+\displaystyle \frac{-y}{y}+\displaystyle \frac{-z}{z}+3\)

\(=(-1)+(-1)+(-1)+3=0\)

よって、右辺と等しくなりました。
以上より、

\(\displaystyle \frac{y+z}{x}+\displaystyle \frac{z+x}{y}+\displaystyle \frac{x+y}{z}+3=0\)