等差数列 × 等比数列 の和
数式がスマホでは見えにくい可能性があります。
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現在、改良方法を模索しております。
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等差数列×等比数列
例題１
次の数列の和を求めなさい。
1⋅1+3⋅3+5⋅32+7⋅33+⋯+(2n−1)⋅3n−1
解説
各項の前は、1,3,5,7,⋯ 等差数列であり、
各項の後は、1,3,32,33,⋯ 等比数列である。
この形の数列の和 S は、公比 r を用いて、 S−rS から求めます。
等比数列の和の公式を導出したときと同じような操作です。
覚えていない人は、等比数列の和の公式を導出を復習しておきましょう。
そして、この計算の流れをしっかりと覚えましょう。
では解きはじめます！
求める和を S とします。
等比数列の公比が 3 なので、S−3S を計算します。
※3S−S から求めても可
3 のべき乗がそろうように上下に並べて差を取ります。
この解法をしっかりと覚えるのですよ！
S=1⋅1+3⋅3+5⋅32+7⋅33+⋯+(2n−1)⋅3n−13S=1⋅3+3⋅32+5⋅33+⋯+(2n−3)⋅3n−1+(2n−1)⋅3n
上－下より
−2S=1⋅1+2⋅3+2⋅32+2⋅33+⋯+2⋅3n−1−(2n−1)⋅3n
ここで、右辺の真ん中を見ると、等比数列になっています。
−2S=1⋅1+2⋅3+2⋅32+2⋅33+⋯+2⋅3n−1−(2n−1)⋅3n
=1⋅1+2⋅3⋅(1+3+32+⋯+3n−2)−(2n−1)⋅3n
=1⋅1+2⋅3⋅1−3n−11−3−(2n−1)⋅3n
=1+3(3n−1−1)−(2n−1)⋅3n
=−(2n−2)⋅3n−2
より、
S=(n−1)⋅3n+1