定積分と面積
定積分と面積
定積分というわけのわからない計算を練習してきました。
ようやく定積分の実用を学習します。
定積分によって、曲線と x 軸とで囲まれた部分の面積が求まるのです。
曲線が x 軸より上方にある場合
a≦x≦b において、
曲線 y=f(x) と、x 軸および 2 直線 x=a,x=b とで囲まれた部分の面積 S は、
S=∫baf(x)dx
曲線が x 軸より下方にある場合
a≦x≦b において、
曲線 y=f(x) と、x 軸および 2 直線 x=a,x=b とで囲まれた部分の面積 S は、
S=−∫baf(x)dx
定積分をすることで、なんとビックリ、面積が求まるのです・・・
なんだこれ？って感じですね。
なぜ定積分で面積が求まるのか。
気になるところですが、とにかくまずは計算に習熟しましょう。
なぜ？については、別ページにて解説します。
例題１
次の曲線と直線とで囲まれた部分の面積を求めなさい。
y=x2−2x+3
x=−1
x=2
x 軸
解説
y=x2−2x+3 のグラフが、−1≦x≦2 で x 軸より上にあるか、下にあるかが重要です。
それを知るために、y=x2−2x+3 のグラフの概形を調べます。
右辺を平方完成して、
y=(x−1)2+2
よって下図のようになっています。
求める面積を S とすると、
S=∫2−1(x2−2x+3)dx
=[13x3−x2+3x]2−1
=13{23−(−1)3}−{22−(−1)2}+3{2−(−1)}
=9
おススメしませんが、F(2)−F(−1) を律儀に計算するならば、
={13⋅23−22+3⋅2}−{13⋅(−1)3−(−1)2+3⋅(−1)}
=143−(−133)=9
例題２
次の曲線と直線とで囲まれた部分の面積を求めなさい。
y=x2−x−6
x=1
x=2
x 軸
解説
y=x2−x−6 を平方完成すると、
y=(x−12)2−254
また、y=x2−x−6=(x+2)(x−3)
より、グラフは下図のようになっています。
x 軸より下にあるので、マイナスをつけます。
求める面積を S とすると、
S=−∫21(x2−x−6)dx
S=∫21(−x2+x+6)dx
=[−13x3+12x2+6x]21
=−13(23−13)+12(22−12)+6(2−1)
=316
例題３
次の曲線と直線とで囲まれた部分の面積を求めなさい。
y=−x2+1
x=2
x 軸
y 軸
解説
−x2+1=−(x+1)(x−1) なので、
y=−x2+1 のグラフは下図のようになっています。
0≦x≦1 と 1≦x≦2 で積分区間を分けます。
求める面積を S とすると、
S=∫10(−x2+1)dx+{−∫21(−x2+1)dx}
S=∫10(−x2+1)dx+∫21(x2−1)dx
=[−13x3+x]10+[13x3−x]21
={−13⋅13+1}+{(13⋅23−2)−(13⋅13−1)}
=2