常用対数の利用

現実世界おいて、どのように対数が利用されているのか。
その一部を実感できる文章題です。

現実の世界の中に、指数、対数が溢れています。

例題１

一定の比率で崩壊し、\(8\) 日たつと量が半分になる放射性元素がある。
この放射性元素が初めの量の \(\displaystyle \frac{1}{10}\) になるのは何日後か。
ただし、\(\log_{ 10 } 2=0.3010\) として計算しなさい。

解説

\(2011\) 年の原発事故でも話題になった放射性元素についてです。

さて、一定の比率で崩壊するとあります。

はじめに \(100\) あったとして、\(8\) 日たつと \(50\) になります。
さらに \(8\) 日たつと・・・
\(50\) の半分、\(25\) になるのです。

決して、 \(8\) 日たつと \(50\) に減り、さらに \(8\) 日たつと \(0\) になるわけではありません（この場合は、一定の速さで崩壊）。

一定の比率で崩壊とは、

\(8\) 日たつと \(\displaystyle \frac{1}{2}\)

\(16\) 日たつと \(\displaystyle \frac{1}{4}\)

\(24\) 日たつと \(\displaystyle \frac{1}{8}\)

\(32\) 日たつと \(\displaystyle \frac{1}{16}\)

このような減り方をします。
これってつまり、指数関数なんです。

ところで、
\(\displaystyle \frac{1}{10}\) になるのは、\(26,27,28\) 日後あたりな気がしますね。
では、きちんと計算して求めていきましょう。

解答

\(1\) 日後に \(\displaystyle \frac{1}{n}\) になるとします。
すると、
\(2\) 日後に \((\displaystyle \frac{1}{n})^2\) になります。

\(3\) 日後に \((\displaystyle \frac{1}{n})^3\) になります。

\(x\) 日後に \((\displaystyle \frac{1}{n})^x\) になります。

問題の放射性元素は \(8\) 日たつと量が半分なるので、

\(8\) 日後には　\((\displaystyle \frac{1}{n})^8=\displaystyle \frac{1}{2}\)
　
さあ、常用対数をとりましょう。

\(\log_{ 10 } (\displaystyle \frac{1}{n})^8=\log_{ 10 } \displaystyle \frac{1}{2}\)

\(8\log_{ 10 } \displaystyle \frac{1}{n}=\log_{ 10 } 1-\log_{ 10 } 2\)

\(8\log_{ 10 } \displaystyle \frac{1}{n}=0-0.3010\)

\(\log_{ 10 } \displaystyle \frac{1}{n}=\displaystyle \frac{-0.3010}{8}\)・・・①

さて、今我々が知りたいのは

\(x\) 日後に

\((\displaystyle \frac{1}{n})^x = \displaystyle \frac{1}{10}\)

ここも常用対数をとりましょう。

\(\log_{ 10 } (\displaystyle \frac{1}{n})^x = \log_{ 10 } \displaystyle \frac{1}{10}\)

\(x\log_{ 10 } \displaystyle \frac{1}{n} = -1\)

ここで①より、

\(\displaystyle \frac{-0.3010}{8}x = -1\)

\(x = \displaystyle \frac{8}{0.3010}=26.5780\cdots\)

より、\(27\) 日後となります。
※\(24×0.5780=13.872\)（時間） なので、およそ \(26\) 日と \(13\) 時間 \(52\) 分後にこの放射性元素は半分になります。答えとしては、\(27\) 日後のことですから、\(27\) 日後と答えます。

例題２

\(40\) 分ごとに個体数が\(2\) 倍になる割合で分裂をし続けるバクテリアがいる。このバクテリアが \(10^7\) 個以上に増えるのは、\(10\) 個であったときから何分後以降か。
ただし、\(\log_{ 10 } 2=0.3010\) とし、答えは整数で求めなさい。

解説

\(1\) 分で \(n\) 倍になるとします。

\(40\) 分で \(2\) 倍になるとは

\(n^{40}=2\)

ここで常用対数をとりましょう。

\(\log_{ 10 } n^{40} = \log_{ 10 } 2\)

\(40\log_{ 10 } n = \log_{ 10 } 2\)

\(\log_{ 10 } n = \displaystyle \frac{\log_{ 10 } 2}{40}\)

\(\log_{ 10 } n = \displaystyle \frac{0.3010}{40}\)　・・・①
また
\(M\) 分後に　\(10^7\) 個以上になったならば

　\(10×n^M \geqq 10^7\)
ここで常用対数をとると

\(\log_{ 10 } (10×n^M) \geqq \log_{ 10 } 10^7\)

\(\log_{ 10 } 10+ \log_{ 10 } n^M \geqq \log_{ 10 } 10^7\)

\(\log_{ 10 } 10+ M\log_{ 10 } n \geqq \log_{ 10 } 10^7\)

\(1+ M\log_{ 10 } n \geqq 7\)

①より、

\(1+ M×\displaystyle \frac{0.3010}{40} \geqq 7\)

\(M×\displaystyle \frac{0.3010}{40} \geqq 6\)

\(M \geqq \displaystyle \frac{6×40}{0.3010} \)

\(M \geqq 797.342\cdots\)

よって \(798\) 分後以降です。