桁数と小数第何位

がんばって覚えるというよりも、具体例で確かめるのが良いでしょう。

例えば \(100=10^2\) は \(3\) 桁の数で最小の数です。
\(1000=10^3\) は \(4\) 桁の数で最小の数です。
つまり、 \(3\) 桁の数 \(P\) は
\(100 \leqq P \lt 1000\)
つまり、
\(10^2 \leqq P \lt 10^3\)
なので、 \(P\) の桁数 \(3\) は、不等式の最も右の数の指数に表れています。

\(10^2 \leqq 3桁の数 \lt 10\)\(^3\)

例題１

\(\log_{ 10 } 2=0.3010\) とする。これを用いて
\(2^{30}\) が何桁の数か求めなさい。

解説

与えられた数を真数とする常用対数をとります。
※「対数をとる」ってつまり、 \(\log\) を数につけることです。

\(\log_{ 10 } 2^{30}\)
\(=30 \log_{ 10 } 2\)
\(=30×0.3010\)
\(=9.03\)

より、\(2^{30}=10^{9.03}\)

したがって、\(10^9 \lt 2^{30} \lt 10^{10}\)

よって、\(2^{30}\) は \(10\) 桁の数。

例題２

\(\log_{ 10 } 3=0.4771\) とする。

これを用いて\(0.3^{20}\) の小数第何位に初めて \(0\) でない数が現れるか求めなさい。

解説

\(\log_{ 10 } 0.3^{20}=20 \log_{ 10 } 0.3\)

\(=20 \log_{ 10 } \displaystyle \frac{3}{10}\)

\(=20( \log_{ 10 } 3-\log_{ 10 } 10)\)
\(=20(0.4771-1)\)
\(=-10.458\)

より、\(0.3^{20}=10^{-10.458}\)

したがって、\(10^{-11} \lt 0.3^{20} \lt 10^{-10}\)

よって、\(0.3^{20}\) は小数第 \(11\) 位に初めて \(0\) でない数が現れる。

例題３

\(\log_{ 10 } 5=0.6990\) を用いて、 \(5^n\) が \(10\) 桁の数となるような自然数 \(n\) をすべて求めなさい。

解説

\(5^n\) が \(10\) 桁の数となるのは、
\(10^9 \leqq 5^n \lt 10^{10}\) のときである。

常用対数をとって
\(\log_{ 10 } 10^9 \leqq \log_{ 10 } 5^n \lt \log_{ 10 } 10^{10}\)

\(9 \leqq n\log_{ 10 } 5 \lt 10\)

\(\log_{ 10 } 5 \gt 0\) なので、\(\log_{ 10 } 5\)で割ると
（不等号の向きがどうなるかのための文言、必須です）

\( \displaystyle \frac{9}{\log_{ 10 } 5} \leqq n \lt \displaystyle \frac{10}{\log_{ 10 } 5}\)

\( \displaystyle \frac{9}{0.6990} \leqq n \lt \displaystyle \frac{10}{0.6990}\)

\( 12.875\cdots \leqq n \lt 14.306\cdots\)
したがって求める自然数 \(n=13,14\)