例題

次の計算をしなさい。
$(\log_{ 2 } 9+\log_{ 8 } 3)(\log_{ 3 } 2- \log_{ 9 } 8)$

解説

とにかく底をそろえて計算をしてみる他ないな・・・

こんな感じで解きはじめます。

底を $2$ か $3$ のどちらにしようかな・・・
と迷う所でしょうか。

結論を先にかいてしまえば、底は $2$ でも $3$ でも解けますし、
実は、どんな値にしても解けます。

では、底を $2$ に変換して計算してみましょう。

$(\log_{ 2 } 9+\log_{ 8 } 3)(\log_{ 3 } 2- \log_{ 9 } 8)$

$=(\log_{ 2 } 3^2+\displaystyle \frac{\log_{ 2 } 3}{\log_{ 2 } 2^3})(\displaystyle \frac{\log_{ 2 } 2}{\log_{ 2 } 3}- \displaystyle \frac{\log_{ 2 } 2^3}{\log_{ 2 } 3^2})$

$=(2\log_{ 2 } 3+\displaystyle \frac{\log_{ 2 } 3}{3})(\displaystyle \frac{1}{\log_{ 2 } 3}- \displaystyle \frac{3}{2\log_{ 2 } 3})$

この先は、$4$ 回かけ算をして、（　）をはずしてもＯＫ。
いわゆる展開です。
あるいは、$( )$ の中をまとめます。
こちらでいきましょう。

$=(2+\displaystyle \frac{1 }{ 3})\log_{ 2 } 3 ×(1- \displaystyle \frac{3}{2})\displaystyle \frac{1}{\log_{ 2 } 3}$

$=\displaystyle \frac{7}{ 3}\log_{ 2 } 3 ×(-\displaystyle \frac{1}{2\log_{ 2 } 3})$

$=-\displaystyle \frac{7}{6}$

例題２

次の計算をせよ。
$\log_{ 3 } 5 \cdot \log_{ 5 } 7 \cdot \log_{ 7 } 3$

解説

これも底は何に変換してもとけます。
底を $a$ に変換すると、

$\log_{ 3 } 5 \cdot \log_{ 5 } 7 \cdot \log_{ 7 } 3$

$=\displaystyle \frac{\log_{ a } 5}{\log_{ a } 3} \cdot \displaystyle \frac{\log_{ a } 7}{\log_{ a } 5} \cdot \displaystyle \frac{\log_{ a } 3}{\log_{ a } 7}$

$=1$

約分で消えましたね。
このように $a$ を底で解いてもよいし、 $3$ を底にしても解けます。