数列と一般項

数を一列に並べたものを数列といいます。

数列における各数を項といい、\(n\) 番目の項を \(a_{ n }\) で表します。
上の例では
\(a_{ 1 }=2\)
\(a_{ 2 }=4\)
\(a_{ 3 }=6\)
\(a_{ 4 }=8\)

最初の項、\(a_{ 1 }\) を初項といいます。

今回の例では、\(n\) 番目の項は \(2n\) と表せます。
つまり、
\(a_{ n }=2n\)
となります。

このように、第 \(n\) 項 \(a_{ n }\) が \(n\) の式で表されるとき、
これを数列の一般項といいます。

第 \(n\) 項 \(a_{ n }\) を \(n\) の式で表すことができないような
数列は出題されないと思ってもらって良いでしょう。

第 \(n\) 項 \(a_{ n }\) が \(n\) の式で表されるとは、何らかの規則をもって数が並んでいる数列です。
何の規則もない数列もつくることができますが、
そのような数列のことを調べても、なんの有用性もありません。
例えば
\(7,11,20,1,24,-9,・・・\)
という、数列があります。
私が何の規則もなくただ数を \(6\) つ並べただけの数列です。
\(7\) 番目の数がいくつであるのか、考えても無駄であることがわかりますね。
このような数列は出題されませんので、考える必要はありません。

例題１

数列 \(\{a_{ n }\}\) の一般項が次の式であるとき、初項から第 \(5\) 項までを求めなさい。

\(a_{ n }=n(3-n)\)

解説

\(n\) に\(1,2,3,4,5\) と順に代入して計算をしていくだけです。

\(a_{ 1 }=1×(3-1)=2\)
\(a_{ 2 }=2×(3-2)=2\)
\(a_{ 3 }=3×(3-3)=0\)
\(a_{ 4 }=4×(3-4)=-4\)
\(a_{ 5 }=5×(3-5)=-10\)

例題２

次の数列の一般項 \(a_{ n }\) を、\(n\) の式で表しなさい。

①\(9,16,25,36,49\cdots\)

②\(-1,3,-5,7,-9\cdots\)

解説

①\(9,16,25,36,49\cdots\)
平方数が並んでいますね。
\(3^2,4^2,5^2,6^2,7^2\cdots\)

よって、
\(a_{ n }=(n+2)^2\)

②\(-1,3,-5,7,-9\)
符号は、正、負、正、負、正・・・と交互です。
それ以外は、奇数が順に並んでいます。

奇数は、 \(2n-1\) と表せます。
符号が、交互に並ぶのは、\((-1)^n\) で表せます。
※覚えちゃいましょう。

よって、
\(a_{ n }=(-1)^n \cdot (2n-1)\)

例題３

次の数列の□に適する数を求めなさい。

\(1,1,2,3,5,□,13,□,34,・・・\)

解説

フィボナッチ数列という有名数列です。

\(a_{ n+2 }= a_{ n+1 }+ a_{ n }\)
という規則になっています。
直前の \(2\) つの項を足して、次の項にするのです。

つまり、
\(1+1=2\)
\(1+2=3\)
\(2+3=5\)
\(3+5=8\) ・・・これが1番目の□に入る数です。
\(5+8=13\)
\(8+13=21\)・・・これが２番目の□に入る数です。
です。

ちなみに
一般項は・・・

\(a_{ n }==\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}\{(\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2})^n \}\)

とても難しいのです。
参考程度に。