指数方程式　不等式　その２

例題１

次の方程式を解きなさい。

\(9^x+3^x-12=0\)

解説

はじめて見た人にはどうしたらいいか,
まったくわからない式に見えると思いますが、

パターン化されただけの定番問題です。

このような問題はこうやって解いてね、

というパターン問題は、高校数学にはたくさんあって、

本問もその \(1\) つです。

深く考えないで、以下の解法を読んで覚えちゃってください。

解答

底をそろえれば解ける！！
という発想は常に持っていてください。

すると、底は \(3\) にそろえられそうじゃないですか。

\(9^x=(3^2)^x=3^{2x}=(3^x)^2\) とします。
すると、与式は、
\((3^x)^2+3^x-12=0\)
です。うまくいきました。

\(3^x=t\) とおけば、
\(t^2+t-12=0\)
という \(2\) 次方程式になります。
あとはこの \(2\) 次方程式を解けばＯＫです。

ここでとても大事なことがあります。

\(3^x=t\) とおいたので、

\(0 \lt t\) という範囲があります。

これを必ず答案に明記すること！
これがとてもとても大事なことです。

では続きを解きましょう。

\(t^2+t-12=0\)
\((t-3)(t+4)=0\)
より、\(t=-4,3\)
\(0 \lt t\) なので、 \(t=3\)

\(3^x=t\) とおいたので、

すなわち、
\(3^x=3\)
よって、\(x=1\)
これで指数方程式が解けました。

さて、うまく解けましたね。
「うまく解けるような問題」だけが出題されているのですから、
なんでだろう？みたいな疑問を持つ必要はありません。
高校数学の定番パターンとして覚えるだけでＯＫです。

例題２

次の不等式を解きなさい。
\(2^{2x+1}-7\cdot2^x-4 \lt 0\)

注　\(7\cdot2^x =7×2^x\) です。

解説

例題 \(1\) と同様の解法で解きます。
「\(2\) 次方程式に帰着させる」

これが知識として覚えておくべきことです。
その後の計算は \(1\)つ \(1\) つ覚えるようなことではありません。
その場で自力で解き進めていくだけの力がないといけません。

ですから、例題２は例題１と同様に解けばいい、という知識の下に
自ら解決してほしいと思います。

「受験数学はまず暗記ありき]ですが、
\(100\) 問も \(1000\) 問も、個々の細かいケースを暗記するわけではありません。

さて解答です。

\(2^{2x+1}-7\cdot2^x-4 \lt 0 \)

\(2\cdot2^{2x}-7\cdot2^x-4 \lt 0 \)

\(2\cdot(2^x)^2-7\cdot2^x-4 \lt 0 \)
\(2^x=t\) とおくと \(0\lt t\)
\(2t^2-7t-4 \lt 0\)
\((2t+1)(t-4) \lt 0\)
よって、
\(-\displaystyle \frac{1}{2} \lt t \lt 4\)
\(0\lt t\) なので、
\(0 \lt t \lt 4\)
すなわち
\(0 \lt 2^x \lt 4\)
\(0 \lt 2^x \lt 2^2\)
底 \(2\) は \(1\) より大きいので、
\(x \lt 2\)
これで求まりました。