三角関数の相互関係

$\sin^2 \theta +\cos^2 \theta =1$

$\tan \theta=\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

$\tan^2 \theta+1=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 \theta}$

数学Ⅰでは三角比の相互関係として学習しましたね。
これらは $\theta$ がいくつであっても成立します。
「三角比」なのか「三角関数」なのか、どっちでもよろしい。

つまり、あらゆる一般角に対して成立します。
とても覚えやすくてうれしいですね。

例題１

$\theta$ の動径が第 $4$ 象限にあり、$\sin \theta =-\displaystyle \frac{1}{4}$のとき、
$\cos \theta$、$\tan \theta$ の値を求めなさい。

解説

第 $4$ 象限がどこかわからないってことはないですよね。
一応確認です。座標平面を $4$ つにわけます。

$高校数学無料学習サイトko-su- 象限$

$\sin \theta$ は　単位円周上での $y$ 座標です。
簡単に図示しましょう。

$高校数学無料学習サイトko-su- 三角関数の相互関係１$

水色の直角三角形に三平方の定理を適用すれば
点 $P$ の $x$ 座標である、$\cos \theta$ が求まります。

$(-\displaystyle \frac{1}{4})^2+ \cos^2 \theta =1^2$

より、$\cos^2 \theta=\displaystyle \frac{15}{16}$

$\cos \theta=\pm \sqrt{\displaystyle \frac{15}{16}}=\pm \displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4}$

$\theta$ の動径が第 $4$ 象限のとき、
$\cos \theta \gt 0 $ なので、

$\cos \theta = \displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4}$

これで求まりました。

三角関数の相互関係の式である、
$\sin^2 \theta +\cos^2 \theta =1$
を利用したのと同じ解き方です。
※そもそも $\sin^2 \theta +\cos^2 \theta =1$ が水色の直角三角形の三平方の定理から得られるからです。

次に $\tan \theta$ を求めましょう。
$\tan \theta$ は直線 $OP$ の傾きです。

つまり、$\tan \theta=$ $OP$ の傾き $= \displaystyle \frac{yの増加量}{xの増加量}$
です。中学 $2$ 年生の一次関数のおさらいです。

よって、$\tan \theta=\displaystyle \frac{-\displaystyle \frac{1}{4}}{ \displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4}}=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{15}}=-\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{15}$

これは、$\tan \theta=\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を用いて解いたのと同じことですね。

例題２

$\theta$ の動径が第 $3$ 象限にあり、$\tan \theta =\displaystyle \frac{3}{2}$のとき、
$\cos \theta$、$\tan \theta$の値を求めなさい。

解説

$\tan \theta$ は直線 $OP$ の傾きです。

傾き $\displaystyle \frac{3}{2}$ の直線を図示しましょう。

$x$ が $2$ 増えると $y$ が $3$ 増えるような傾きです。

$高校数学無料学習サイトko-su- 三角関数の相互関係２$

水色の直角三角形に三平方の定理を適用すれば
点 $P$ の $x$ 座標である、$\cos \theta$ と
点 $P$ の $y$ 座標である、$\sin \theta$ が求まります。

$(2t)^2+(3t)^2=1^2$
より、
$13t^2=1$

$t=\pm \sqrt{\displaystyle \frac{1}{13}}$

$t$ は直角三角形の長さであり、 $t \gt 0$ よって

$t= \sqrt{\displaystyle \frac{1}{13}}=\displaystyle \frac{\sqrt{13}}{13}$

図より、
点 $P$ の $x$ 座標である、$\cos \theta$ は$-2t$

よって、$\cos \theta=-\displaystyle \frac{2\sqrt{13}}{13}$

点 $P$ の $y$ 座標である、$\sin \theta$ は$-3t$

よって、$\sin \theta=-\displaystyle \frac{3\sqrt{13}}{13}$

カテゴリー: 三角関数