式の値のポイント

三角比の相互関係を利用して、式を簡略化していきます。

• \(\sin^2 \theta +\cos^2 \theta =1\)
• \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
• \(\tan^2 \theta+1=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 \theta}\)

また、
\(\sin 160°=\sin 20°\)
のように、角を小さくすることも重要です。

例題

次の式の値を求めなさい。

\(\sin^2 46°+\sin^2 136° \)

解説

このような問題は、三角比の相互関係の式を利用するという、
解法パターンの暗記です。

そもそも、\(\sin 46°\) なんて値は、求まるわけがないのです。

つまり、式変形をしていくことで、
うまく計算処理ができるようになっている問題でないと、出題されないわけです。

ですから、
「三角比の相互関係の式を用いることで、うまくいくようになっている」
という信念をもとに、与式をいじくっていきます。

解き方がわかってから手を動かすのではなく、

「三角比の相互関係の式を使えるような形に、式をいじくっていく」うちに、いつのまにか答えにたどりつく

そんなタイプの問題です。

解答

相互関係の式は、角がそろっていることが前提ですので、

角をそろえていくことが重要です。

角は小さい方にそろえるのがコツです。
※大きい方にそろえても解けますけど・・・

\(\sin^2 46°+\sin^2 136° \)

\(=\sin^2 46°+\sin^2 (180°-136°) \)

\(=\sin^2 46°+\sin^2 44° \)

\(=\sin^2 46°+\cos^2 46° \)

\(=1\)

求まりました。
つまり、
\(\sin 136°=\cos 46°\)
ということがこの問題のポイントでした。

例題２

次の式の値を求めなさい。

\(\tan 20°\tan 70°-\tan 35°\tan 55° \)

解説

角を小さくしましょう。
きっとそろえられるはずです・・・という希望をもって手を動かします。
\(\tan 20°\tan 70°-\tan 35°\tan 55° \)

\(=\tan 20° \displaystyle \frac{1}{\tan20°}-\tan 35° \displaystyle \frac{1}{\tan35°}\)

\(=1-1\)
\(=0\)

三角比の相互関係を使うまでもなく解決しました。

例題３

次の式の値を求めなさい。

\(1+\displaystyle \frac{1}{\tan^2 \theta}-\displaystyle \frac{1}{\sin^2 \theta}\)

解説

\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)

なので、

\(\tan^2 \theta=\displaystyle \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}\)

両辺の逆数をとって

\(\displaystyle \frac{1}{\tan^2 \theta}=\displaystyle \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}\)

これを与式、\(1+\displaystyle \frac{1}{\tan^2 \theta}-\displaystyle \frac{1}{\sin^2 \theta}\)　に代入すると、

\(1+\displaystyle \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}-\displaystyle \frac{1}{\sin^2 \theta}\)

\(=\displaystyle \frac{\sin^2 \theta}{\sin^2 \theta}+\displaystyle \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}-\displaystyle \frac{1}{\sin^2 \theta}\)

\(=\displaystyle \frac{\sin^2 \theta+\cos^2 \theta-1}{\sin^2 \theta}\)

\(=0\)
これで求まりました！

別解

三角比の相互関係の \(3\) つめの式

\(\tan^2 \theta+1=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 \theta}\)

も利用できそうです。

これを式変形していくことで、解決することもできますが、

そもそも、\(\tan^2 \theta+1=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 \theta}\)　が

\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)　を用いて示されるので、

上の解法と大差はありません。

例題４

\(0° \leqq \theta \leqq 180°\) で

\(\sin \theta+\cos \theta=\sqrt{2} \) のとき

\(\sin \theta \cos \theta\) の値を求めなさい。

解説

やってみたらうまくいくだろう、という見切り発車が大事です。

すべてが分かったうえで解き始めるのではなくて、
どうせ今までの知識で解けるように作られているんでしょ、
その範囲からしか出題されないもんね、
という達観を持ってください。

\(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) を使うことになりそうじゃないですか。
だから \(2\) 乗します。
※なんで？という人は、解法パターンの暗記をすればＯＫです。
\((\sin \theta+\cos \theta)^2=(\sqrt{2})^2 \)

\(\sin^2 \theta+2\sin \theta \cos \theta+\cos^2 \theta=2\)

ここで、
\(\sin^2 \theta +\cos^2 \theta =1\)
を利用すれば

\(1+2\sin \theta \cos \theta=2\)

\(2\sin \theta \cos \theta=1\)

\(\sin \theta \cos \theta=\displaystyle \frac{1}{2}\)