三角比の導入

三角比

下の図のような直角三角形があります。

直角三角形の $2$ つの辺の比について考えます。

$高校数学無料学習サイトko-su- 三角比　導入図１$

直角三角形の $3$ つの辺のうち、$2$ つを選ぶ選び方は
全部で $3$ 通りあります。
これら $3$ 通りの比の値にはそれぞれ名前がついています。
これら $3$ つの比のことをまとめて、三角比と呼びます。

$2$ つの辺の長さの比は、$\theta$ の大きさのみによって決まります。
※$\theta$ はギリシャ文字、シータと読みます。
※拡大・縮小しても、比の値は変化しません。

$\sin \theta=\displaystyle \frac{a}{c}$

$\sin \theta$ はサインシータと読みます。
筆記体の $s$ の形で覚えやすいです。

$高校数学無料学習サイトko-su- 三角比　正弦$

$\cos \theta=\displaystyle \frac{b}{c}$

$\cos \theta$ はコサインシータと読みます。
筆記体の $c$ の形で覚えやすいです。

$高校数学無料学習サイトko-su- 三角比　余弦$

$\tan \theta=\displaystyle \frac{a}{b}$

$\tan \theta$ はタンジェントシータと読みます。
筆記体の $t$ の形で覚えやすいです。

$高校数学無料学習サイトko-su- 三角比正接$

下図において、$\sin \alpha,\cos \alpha,\tan \alpha,$ の値をそれぞれ求めなさい。

$高校数学無料学習サイトko-su- 三角比例題　図１$

$\alpha$ を左下、直角を右下においた図にするため回転します。
必要あらば、裏返しもしましょう。

$高校数学無料学習サイトko-su- 三角比例題　解答図$

あとは定義通り計算するのみです。

$\sin \alpha=\displaystyle \frac{6}{10}=\displaystyle \frac{3}{5}$

$\cos \alpha=\displaystyle \frac{8}{10}=\displaystyle \frac{4}{5}$

$\tan \alpha=\displaystyle \frac{6}{8}=\displaystyle \frac{3}{4}$

ところで、「三角比の値は角度のみで決まる」
つまり、「辺の長さとは無関係で決まる」
という事実を確認しておきましょう。

先の例題と相似な直角三角形の三角比を考えてみます。

$高校数学無料学習サイトko-su- 三角比相似$

直角三角形の $1$ つの角が $\alpha$ ならば、必ず$3$ 辺の比は $3:4:5$ ですね。
ですから、三角比の値は三角形の大きさには無関係です。