$3$ 次方程式の解法

$3$ 次以上の方程式を高次方程式といいます。
一般に、$3$ 次以上の方程式を解くことはとても難しく、必ずうまく解けるとは限りません。
そんな中、高校生相手に出題される高次方程式は、うまく解けるものばかりです。

以下の手順で解ける高次方程式のみが出題されます。

$3$ 次方程式の解と代数学の基本定理

$3$ 次方程式の解は、複素数の範囲で $3$ 個あります。
※$2$ 重解が $2$ 個、 $3$ 重解を $3$ 個とするとき。

$3$ 次方程式を分類すると以下の $4$ パターンです。

１　異なる $3$ つの実数解 $(x-p)(x-q)(x-r)=0$
２　異なる $2$ つの実数解 $(x-p)^2(x-r)=0$・・・$p$ は $2$ 重解
３　$1$ つの実数解 $(x-p)^3=0$・・・$p$ は $3$ 重解
４　$1$ つの実数解と異なる $2$ つの虚数解 $(x-p)\{x-(a+bi)\}\{x-(a-bi)\}=0$
※虚数解は必ず共役な複素数です。

代数学の基本定理

複素数の範囲で考えると、$n$ 次方程式は $n$ 個の解をもつことが知られています。
※$m$ 重解を $m$ 個と数えるとき
これを代数学の基本定理といいます。

証明は難しすぎるので割愛します。

$n$ 次方程式は $n$ 個の解をもつ。
教養として覚えておきましょう。

例題１

次の方程式を解きなさい。

$3x^3-24=0$

解説

共通因数でくくる。
これがすべてのはじまりです。

つまり、
$3x^3-24=0$
$3(x^3-8)=0$

次に、因数分解の公式が使えるときは使います。
今回は使えます。
$3(x^3-8)=0$
$3(x-2)(x^2+2x+4)=0$

したがって、
$x-2=0$
または
$x^2+2x+4=0$
この $2$ 次方程式を解きます。
解の公式より、

$x=\displaystyle \frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot1\cdot4}}{2}$

$=-1 \pm \sqrt{3}i$

よって、求める解は
$x=2,-1 \pm \sqrt{3}i$

例題２

次の方程式を解きなさい。
$2x^3+3x^2-5x-6=0$

解説

公式では因数分解できませんね。
このようなときは、因数定理で探します。
$P(x)=2x^3+3x^2-5x-6$　とすると
$P(-2)=-16+12+10-6=0$
が見つかるので、$P(x)$ は $x+2$ を因数に持ちます。

$P(x)$ を $x+2$ で割ると
$P(x)÷(x+2)=2x^2-x-3$
したがって、
$P(x)=(x+2)(2x^2-x-3)$

$2x^2-x-3$ は、たすきがけ因数分解が可能で、
$2x^2-x-3=(x+1)(2x-3)$

したがって、
$P(x)=(x+2)(x+1)(2x-3)$

よって求める解は、
$x=-2,-1,\displaystyle \frac{3}{2}$

※$P(-1)=0$ からももちろん解けます。

例題３

次の方程式を解きなさい。
$x^3-4x^2+5x-6=0$

解説

公式では因数分解できませんね。
因数定理でさがします。
$P(x)=x^3-4x^2+5x-6$　とすると
$P(3)=27-36+15-6=0$
が見つかるので、$P(x)$ は $x-3$ を因数に持ちます。

計算すると、
$P(x)=(x-3)(x^2-x+2)$
$x-3=0$
または、
$x^2-x+2=0$

よって
$x=3,\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{7}i}{2}$
※$2$ 次方程式　$x^2-x+2=0$ は解の公式か平方完成で解きましょう。

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