ko-su- 図形の性質

角の2等分と線分の比

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必ず暗記しないといけない下の定理があります。

角の $2$ 等分と線分の比

下図のように、角 $A$ の $2$ 等分線と、$BC$ の交点を $D$ とします。
このとき、$BD:DC=AB:CA$

$中学数学・高校受験chu-su-　角の２等分と線分の比１$

なぜか、「～の定理」という名前がついていません。
しかし、非常によく出題されます。
極めて覚えやすい定理ですね。しっかり暗記しましょう。

角の2等分と線分の比の証明

下図のように、$AD$ と平行な線分 $EC$ を引きます。
いわゆるピラミッド型相似ができます。
三角形 $BDA$ と三角形 $BCE$ が相似です。

$中学数学・高校受験chu-su-　角の２等分と線分の比２$

また、平行線の錯角より、$DAC=ECA$
また、平行線の同位角より、$BAD=AEC$

$中学数学・高校受験chu-su-　角の２等分と線分の比３$

このことから、三角形 $ACE$ は、二等辺三角形です。
したがって、$AC=AE=b$

$中学数学・高校受験chu-su-　角の２等分と線分の比４$

さて、ピラミッド型相似に注目しましょう。
$BA:AE=a:b$ ですので、
$BD:DC=a:b$ も成り立ちます。

$中学数学・高校受験chu-su-　角の２等分と線分の比5$

以上で証明終了です。

下の図において、$AD$ は角 $A$ の $2$ 等分線です。
$BD$ の長さを求めなさい。

$中学数学・高校受験chu-su-　角の２等分と線分の比　６$

角の $2$ 等分と線分の比の性質を使うのみです。

$BD:DC=9:6=3:2$ なので、

$BD=10×\displaystyle \frac{3}{3+2}=6$

以上、求まりました。

$中学数学・高校受験chu-su-　角の２等分と線分の比　７$

下の図において、$AD$ は角 $A$ の $2$ 等分線であり、$BE$ は角 $B$ の $2$ 等分線です。
$AF:FD$ を求めなさい。

$中学数学・高校受験chu-su-　角の２等分と線分の比　8$

角の $2$ 等分があるので、線分の比が求められます。
角の $2$ 等分と線分の比の性質を使いましょう。

角 $A$ の$2$ 等分線より、

$BD:DC=10:8=5:4$

$中学数学・高校受験chu-su-　角の２等分と線分の比　9$

$BD=13.5×\displaystyle \frac{5}{5+4}=7.5$

次に、角 $B$ の$2$ 等分線より、

$AF:FD=10:7.5=4:3$

$中学数学・高校受験chu-su-　角の２等分と線分の比　10$

以上求まりました。