条件ありの順列

条件があるときの順列

場合の数において、条件から先に決めていくことが重要です。
しっかり覚えておきましょう！！

男子 \(3\) 人と女子 \(2\) 人が \(1\) 列に並ぶとき、次のような並び方は何通りあるか求めなさい。

（１）男子 \(3\) 人が続いて並ぶ
（２）両端が男子である
（３）男子が隣り合わない

自力で解けなくとも、解答を読んで理解・暗記すればＯＫです。
自力で再現できるように反復練習をすることが大事です。

男子 \(3\) 人に \(A,B,C\)
女子 \(2\) 人にア、イ
と名前をつけて区別します。
区別のあるものなのか、ないものなのか、場合の数において重要な事柄ですね。

さて、場合の数において、条件から先に決めて考えていくことが重要です。

\(A,B,C\) の \(3\) 人を \(1\) かたまりのものとして並べます。

ア、イ、\(A,B,C\)
ア、\(A,B,C\)、イ
イ、ア、\(A,B,C\)
イ、\(A,B,C\)、ア
\(A,B,C\)、ア、イ
\(A,B,C\)、イ、ア
のように \(6\) 通りあります。

これはもちろん、かき出しをせずに、計算で求められるようになりましょうね。
ア、イ、男子グループ、という異なる \(3\) つのものの順列です。
\(_3 \mathrm{ P }_3=6\) 通り

そして、\(ABC\) の並び方が他にもあります。
\(ABC\) の並び方は、
異なる \(3\) つのものの順列です。
\(_3 \mathrm{ P }_3=6\) 通り

よって、\(6×6=36\) 通りです。これが答えです。

例えば、ア、イ、\(A,B,C\) として\(1\) 通りとしていたものが、
ア、イ、\(A,B,C\)
ア、イ、\(A,C,B\)
ア、イ、\(B,A,C\)
ア、イ、\(B,C,A\)
ア、イ、\(C,A,B\)
ア、イ、\(C,B,A\)

のように \(6\) 倍に膨れ上がるのです。

条件から先に決めて考えていきます。
男子 \(3\) 人(\(A,B,C\))から、左端、右端の \(2\) 人を選んで並べます。
その並べ方は、

\(_3 \mathrm{ P }_2=6\) 通り

間に入るのは、残った男子 \(1\) 人と、女子 \(2\) 人の合計 \(3\) 人です。
この \(3\) 人の並び方は、
異なる \(3\) つのものの順列です。

\(_3 \mathrm{ P }_3=6\) 通り

よって、\(6×6=36\) 通りです。

※このかけ算のイメージがわかない人は、（1)のように書き出しをしましょう！

男女男女男、のように並ぶしかありません。

まず男子 \(3\) 人を一列に並べます。
異なる \(3\) つのものの順列です。
\(_3 \mathrm{ P }_3=6\) 通り

その間に入る女子の並び方は、
ア、イかイ、アの \(2\) 通り。
※\(_2 \mathrm{ P }_2=2\) 通り、と公式で計算でもよいですが。

よって、\(6×2=12\) 通りです。