【センター試験ⅡＢ】微分・積分

センター試験・過去問研究

センター試験の過去問を徹底解説します。
センター試験とはどれくらいのレベルの問題が出るのか、どのような出題があるのか、まずは経験値をつみましょう！

【１】 $p \gt 0$ とする。座標平面上の放物線 $y=px^2+qx+r$ を $C$ とし、直線 $y=2x-1$ を $l$ とする。 $C$ は点 $A(1,1)$ において $l$ と接しているとする。

（１）$q$ と $r$ を、$p$ を用いて表そう。放物線 $C$ 上の点 $A$ における接線 $l$ の傾きは $ア$ であることから、$q=イウp+エ$ がわかる。さらに、 $C$ は点 $A$ を通ることから、$r=p-オ$ となる。

筆者注（２）へと続く

解説

まずは基本中の基本。解説不要でないと困ります。

接線 $l$ は、$y=2x-1$ なので、傾きは $x$ の係数 $2$
※中学 $2$ 年の内容ですね。

ア＝２

放物線 $y=px^2+qx+r$ を微分して

$y´=2px+q$
$x=1$ のとき、$y´=2$ なので、
$2p+q=2$

より、$q=-2p+2$

イウ＝－２、エ＝２
$C:y=px^2+qx+r$ は点 $A(1,1)$ を通るので代入して、

$1=p+q+r$
これに、先ほど求まった $q=-2p+2$ を代入すると、
$1=p+(-2p+2)+r$
整理して、
$r=p-1$

オ＝１

では続きです。

（２）$v \gt 1$ とする。放物線 $C$ と直線 $l$ および直線 $x=v$ で囲まれた図形の面積 $S$ は

$S=\displaystyle \frac{p}{カ}(v^3-キv^2+クv-ケ)$ である。

また、$x$ 軸と $l$ および $2$ 直線 $x=1,x=v$ で囲まれた図形の面積 $T$ は、

$T=v^コ-v$ である。

$U=S-T$ は $v=2$ で極値をとるとする。このとき、$p=サ$ であり、$v \gt 1$ の範囲で $U=0$ となる $v$ の値を $v_{0}$ とすると、

$v_{0}=\displaystyle \frac{シ+\sqrt{ス}}{セ}$ である。$1 \lt v \lt v_0$ の範囲で $U$ は $ソ$。

$ソ$ に当てはまるものを、次の $0$ から $4$ のうちから一つ選べ。

$0$ つねに増加する
$1$ つねに減少する
$2$ 正の値のみをとる
$3$ 負の値のみをとる
$4$ 正と負のどちらの値もとる

$p=サ$ のとき、$v \gt 1$ における $U$ の最小値は $タチ$ である。

解説

（２）$v \gt 1$ とする。放物線 $C$ と直線 $l$ および直線 $x=v$ で囲まれた図形の面積 $S$ は

$S=\displaystyle \frac{p}{カ}(v^3-キv^2+クv-ケ)$ である。

解説

何はともあれ図示ですね。

$p \gt 0$ なので、下図のようになります。
$x$ 軸や $y$ 軸の正確な位置は不明ですし、かかなくてもかまいません。
とにかく、ターゲットとなる図形を明確にできればＯＫです。

$高校数学無料学習サイトko-su- センター試験　微分積分201$

さて、面積を求めましょう。

積分の裏ワザ面積公式一発タイプなのですが・・・
センター試験においても、裏ワザ公式一発もそこそこ出題されます。

裏ワザ公式あり、なし、両方を解説します。
重要なのは、裏ワザ公式なしの方ですよ！

裏ワザ公式

当サイトでも、何通りかの積分の裏ワザ面積公式を紹介、解説しています。

しかし、今回のケースは取り上げていません。
理由は、細かく何パターンも覚えるのは実践的ではないからです。

完璧に暗記しきらないと、

係数はなんだっけ？ $\displaystyle \frac{1}{12}$ だっけ？ $\displaystyle \frac{1}{3}$ だっけ？

となりやすい危険もあります。

ちなみに、今回は

「$2$ 次関数　$y=ax^2+bx+c$」と「接線」と「 $y$ 軸に平行な直線」に囲まれた面積は、

$\displaystyle \frac{|a|}{3}(\beta-\alpha)^3$

ただし、接点の $x$ 座標が $\beta$、$y$ 軸に平行な直線が $x=\alpha$
あるいは、接点の $x$ 座標が $\alpha$、$y$ 軸に平行な直線が $x=\beta$

公式で解くと、

$S=\displaystyle \frac{p}{3}(v-1)^3$ なので、

$S=\displaystyle \frac{p}{3}(v^3-3v^2+3v-1)$

より、カ＝３、キ＝３、ク＝３、ケ＝１

確かに公式を暗記していれば、とても簡単なのは間違いありません。

重要！裏ワザ公式なしで

上でも書きましたが、似たような裏技公式を何個も完璧に覚えきれるものではありません。

当サイトで裏ワザ公式を紹介したときにも解説していますが、
そもそも、どのような式変形でこの公式が導かれるか、

この考え方を暗記しておくのです！

今回もそれで、楽勝で解決です。以下の計算過程を、しっかり理解・暗記をしてください。

まずはまっとうに定積分の計算式からです。
$S=\displaystyle \int_{1}^v \{(px^2+qx+r)-(2x-1)\} dx $

$=\displaystyle \int_{1}^v p(x-1)^2 dx $

この式変形が重要です！
$(px^2+qx+r)-(2x-1)=p(x-1)^2$ なのですが、ここはまったく計算なしで済ませます！

なぜならば、$C$ と $l$ は $x=1$ で接しているからです。$x=1$ が重解になるので、 $(x-1)^2$ 、あとは $x^2$ の係数が $p$ です。

では続きです。

$\displaystyle \int_{1}^v p(x-1)^2 dx $

$= p\left[ \displaystyle \frac{1}{3}(x-1)^3 \right]_{1}^v$

ここは積分の重要公式を活用しています。

$\displaystyle \int (ax+b)^n dx=\displaystyle \frac{1}{a}\cdot \displaystyle \frac{1}{n+1}(ax+b)^{n+1}+C$

あとは普通に計算するのですが、$1$ を代入すると $0$ になるので計算は極めて容易です。

$=\displaystyle \frac{p}{3}(v-1)^3$

$=\displaystyle \frac{p}{3}(v^3-3v^2+3v-1)$

これで求まりました。

より、カ＝３、キ＝３、ク＝３、ケ＝１

では続きです。

また、$x$ 軸と $l$ および $2$ 直線 $x=1,x=v$ で囲まれた図形の面積 $T$ は、

$T=v^コ-v$ である。

図示します。直線だけに囲まれた図形なので、作図は簡単ですね。

$高校数学無料学習サイトko-su- センター試験　微分積分202$

これは、台形の面積です。
台形の面積の公式で解決です。

$\{1+(2v-1)\}×(v-1)×\displaystyle \frac{1}{2}=v^2-v$

より、コ＝２

ちなみに、先の図と合わせた図ならば、以下のようになっています。

$高校数学無料学習サイトko-su- センター試験　微分積分203$

この図でないと本問は解けない、解きにくい、ということは一切ありません。
結果論ですけども。

$U=S-T$ は $v=2$ で極値をとるとする。このとき、$p=サ$ であり、

$S,T$ は順に求めてきたものたです。

$S=\displaystyle \frac{p}{3}(v^3-3v^2+3v-1)$

$T=v^2-v$

ですから、
$U=S-T$

$=\displaystyle \frac{p}{3}(v^3-3v^2+3v-1)-(v^2-v)$

$v$ で微分すると

$U´=\displaystyle \frac{p}{3}(3v^2-6v+3)-(2v-1)$

$v=2$ で極値をとるので、$U´(2)=0$ なので、

$U´(2)=0=\displaystyle \frac{p}{3}(3\cdot2^2-6\cdot2+3)-(2\cdot2-1)$

$0=p-3$
より、 $p=3$

サ＝３

では続きです。

このとき、$p=サ$ であり、（筆者注　先ほど求めたので、$サ=3$ です）

$v \gt 1$ の範囲で $U=0$ となる $v$ の値を $v_{0}$ とすると、

$v_{0}=\displaystyle \frac{シ+\sqrt{ス}}{セ}$ である。

$p=3$ のときの、$U=S-T$ について考える問題なので、まずは $p=3$ を代入します。

$U=S-T$

$=\displaystyle \frac{p}{3}(v^3-3v^2+3v-1)-(v^2-v)$

でしたから、 $p=3$ を代入して整理すると、

$U=S-T$

$=v^3-4v^2+4v-1$

このとき、$v \gt 1$ の範囲で $U=0$ となる $v$ の値、 $v_{0}$ を求めます。

つまり、 $v^3-4v^2+4v-1=0$ となる $v$ の値を求めるわけです。

$3$ 次方程式を解くなら、因数定理に決まっています。
定数項が $-1$ なので、$\pm 1$ が候補ですね。

$U(1)=0$ が即座に確かめられますので、$v^3-4v^2+4v-1$ を $(v-1)$ で割って、

$v^3-4v^2+4v-1=(v-1)(v^2-3v+1)$

$2$ 次方程式、$v^2-3v+1=0$ の解は、解の公式でも平方完成でも好きに解いてください。

$v=\displaystyle \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

$v \gt 1$ なので、

$v_{0}=\displaystyle \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

シ＝３、ス＝５、セ＝２

では続きです。

$1 \lt v \lt v_0$ の範囲で $U$ は $ソ$。

$ソ$ に当てはまるものを、次の $0$ から $4$ のうちから一つ選べ。

$0$ つねに増加する
$1$ つねに減少する
$2$ 正の値のみをとる
$3$ 負の値のみをとる
$4$ 正と負のどちらの値もとる

$p=サ$ のとき、$v \gt 1$ における $U$ の最小値は $タチ$ である
（筆者注　先ほど求めたので、$サ=3$ です）

$U=v^3-4v^2+4v-1$ のグラフの概形について聞かれています。

グラフの概形と言えば、微分して増減表がセオリーですが、今回はそれは必要ありません。

$U=v^3-4v^2+4v-1$ は、$v=1,\displaystyle \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$ で $x$ 軸と交わり、$v=2$ で極値をとります。

これをもとに概形をかけます。比率などは不正確でかまいません。
増減や正負がわかる概形ならＯＫです。

まず、$\sqrt{5} \fallingdotseq 2.236$ なので（富士山麓オウム鳴く）

$\displaystyle \frac{3- \sqrt{5}}{2}\fallingdotseq 0.4$

$\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}\fallingdotseq 2.6$

ですね。

$U=v^3-4v^2+4v-1$ の $3$ 次の項が正なので、グラフの概形は以下のようになります。

$\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}=v_{0}$ です。

$\displaystyle \frac{3-\sqrt{5}}{2}=v_{1}$ とおきます。

$高校数学無料学習サイトko-su- センター試験　微分積分204$

※ $U$ 軸をかいてもいいのですけど・・・いらないですね。

さて、$1 \lt v \lt v_0$ の範囲で $U$ はどうなっているか。選択肢の中から適切なものを選べば、

$3$ 負の値のみをとる

ですね。

より、ソ＝３

また、$1 \lt v$ における $U$ の最小値はグラフから明らかに、$v=2$ のときに取ります。

$U(2)=2^3-4\cdot2^2+4\cdot2-1=-1$

より、タチ＝－１

以上です！

カテゴリー: センター試験ⅡB