【センター試験ⅠA】確率02

センター試験・過去問研究

センター試験の過去問を徹底解説します。
センター試験とはどれくらいのレベルの問題が出るのか、どのような出題があるのか、まずは経験値をつみましょう!

白いボールが \(3\) 個、黒いボールが \(1\) 個入っている箱がある。この箱の中から \(1\) 個のボールを取り出し、ボールの色を確認した後、ボールを箱に戻すという試行を \(4\) 回行う。白いボールが取り出された回数を \(m\) とする。また、整数 \(n\) を次のように定義する。

・白いボールが全く取り出されなかった場合は、\(n=0\) とする。

・白いボールが取り出されたが、\(2\) 回以上連続して取り出されなかった場合は、\(n=1\) とする。

・白いボールが\(2\) 回以上連続して取り出された場合は、白いボールが連続して取り出された回数の最大値を \(n\) とする。

例えば、

白、白、黒、白の順に取り出された場合は、\(n=2\)
白、白、白、白の順に取り出された場合は、\(n=4\)
である。

(1)\(m=3\) となる確率は \(\displaystyle \frac{アイ}{ウエ}\) である。

(2)\(n=3\) となる確率は \(\displaystyle \frac{オカ}{キクケ}\) である。

(3)\(n=2\) となる確率は \(\displaystyle \frac{コサ}{シスセ}\) である。

(4)\(n=1\) となる確率は \(\displaystyle \frac{ソタ}{チツテ}\) である。

解説

(1)\(m=3\) となる確率は \(\displaystyle \frac{アイ}{ウエ}\) である。

\(m\) は、白いボールが取り出された回数です。

つまり、\(4\) 回のうち、\(3\) 回が取り出される確率です。

\(1\) 回の試行で、

白いボールの出る確率は \(\displaystyle \frac{3}{4}\)

黒いボールの出る確率は \(\displaystyle \frac{1}{4}\)

反復試行の確率の公式により、

\({}_4 \mathrm{ C }_3 (\displaystyle \frac{3}{4})^3(\displaystyle \frac{1}{4})=\displaystyle \frac{27}{64}\)

より、アイ=27、ウエ=64

公式など使わずに

反復試行の確率の公式は覚えている必要はありません。

何が起きたのか、何の確率を求めるのか、きちんと考えれば解けます。

\(4\) 回のうち、\(3\) 回白いボールが取り出される確率ですが、

白、白、白、黒、と取り出す確率。

白、白、黒、白、と取り出す確率。

白、黒、白、白、と取り出す確率。

黒、白、白、白、と取り出す確率。

以上 \(4\) つは排反なので、この \(4\) つの確率の和が求める確率です。

白、白、白、黒、と取り出す確率は、\((\displaystyle \frac{3}{4})^3(\displaystyle \frac{1}{4})=\displaystyle \frac{27}{256}\)

同様に、他も求めるとすべての確率が、\(\displaystyle \frac{27}{256}\) です。

よって、\(\displaystyle \frac{27}{256}×4=\displaystyle \frac{27}{64}\)

以上求まりました。
この解き方が、反復試行の確率の公式そのものです。

(2)\(n=3\) となる確率は \(\displaystyle \frac{オカ}{キクケ}\) である。

\(n=3\) とは、白いボールが連続して取り出された回数の最大値が \(3\) ということなので、

白、白、白、黒と取り出す確率。

黒、白、白、白と取り出す確率。

以上 \(2\) つの和になります。

どちらの場合も、\((\displaystyle \frac{1}{4})^3(\displaystyle \frac{1}{4})=\displaystyle \frac{27}{256}\)
なので、
求める確率は、\(\displaystyle \frac{27}{256}×2=\displaystyle \frac{27}{128}\)
また、これは(1)を「反復試行の公式」を使わずに解いた人にとっては、明らかに(1)の半分です。

オカ=27、キクケ=128

(3)\(n=2\) となる確率は \(\displaystyle \frac{コサ}{シスセ}\) である。

\(n=2\) とは、白いボールが連続して取り出された回数の最大値が \(2\) ということなので、

白、白、黒、黒と取り出す確率。

黒、白、白、黒と取り出す確率。

黒、黒、白、白と取り出す確率。

これで終わりにしてはダメですよ、さらに、

白、白、黒、白と取り出す確率。

白、黒、白、白と取り出す確率。

以上 \(5\) つの和になります。

白2回、黒2回の3パターンの確率はいずれも、

\((\displaystyle \frac{3}{4})^2(\displaystyle \frac{1}{4})^2=\displaystyle \frac{9}{256}\)

白3回、黒1回の2パターンの確率はいずれも、

\((\displaystyle \frac{3}{4})^3(\displaystyle \frac{1}{4})=\displaystyle \frac{27}{256}\)

よって、
\(\displaystyle \frac{9}{256}×3+\displaystyle \frac{27}{256}×2=\displaystyle \frac{81}{256}\)

より、コサ=81、シスセ=256

(4)\(n=1\) となる確率は \(\displaystyle \frac{ソタ}{チツテ}\) である。

この手の問題の最後は「余事象の利用」が定番です。

\(n=0\)
\(n=1\)
\(n=2\)
\(n=3\)
\(n=4\)
の \(5\) つのケースがあり、確率が求まっているは

\(n=2\) のとき \(\displaystyle \frac{81}{256}\)

\(n=3\) のとき \(\displaystyle \frac{27}{128}\)

なので、\(n=0\) と \(n=4\) の確率が求まれば、全事象の確率 \(1\) から引くことで求められます。

\(n=0\) となる確率は、すべて黒の確率なので、

\((\displaystyle \frac{1}{4})^4=\displaystyle \frac{1}{256}\)

\(n=4\) となる確率は、すべて白の確率なので、

\((\displaystyle \frac{3}{4})^4=\displaystyle \frac{81}{256}\)

よって、\(n=1\) となる確率は

\(1-(\displaystyle \frac{81}{256}+\displaystyle \frac{27}{128}+\displaystyle \frac{1}{256}+\displaystyle \frac{81}{256})=\displaystyle \frac{39}{256}\)

より、ソタ=39、チツテ=256

参考

本問においては、余事象ではなく、直接 \(n=1\) となる確率を求めても、それほど大きな手間にはならない。練習としてやってみましょう!