例題１

\(\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } \displaystyle \frac{1}{k(k+1)}\) を求めよ。

解説

\(\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}=\displaystyle \frac{1}{k}-\displaystyle \frac{1}{k+1}\) という式変形を利用します。部分分数分解といいます。

まさに解法知識です。覚えていればよいのです。
高校数学では多いですよ、解法知識があるかないか、それだけの問題です。

\(\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } \displaystyle \frac{1}{k(k+1)}\)

\(=\displaystyle \frac{1}{1\cdot2}+\displaystyle \frac{1}{2\cdot3}+\displaystyle \frac{1}{3\cdot4}+\cdots+\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}\)

\(=(\displaystyle \frac{1}{1}-\displaystyle \frac{1}{2})+(\displaystyle \frac{1}{2}-\displaystyle \frac{1}{3})+(\displaystyle \frac{1}{3}-\displaystyle \frac{1}{4})+\cdots+(\displaystyle \frac{1}{n}-\displaystyle \frac{1}{n+1})\)

\(=\displaystyle \frac{1}{1}
\hspace{ 4pt } \underbrace{ -\displaystyle \frac{1}{2}+\displaystyle \frac{1}{2} }_{ 0 }
\hspace{ 4pt } \underbrace{ -\displaystyle \frac{1}{3}+\displaystyle \frac{1}{3} }_{ 0 }
\hspace{ 4pt } \underbrace{ -\displaystyle \frac{1}{4}+\cdots }_{ 0 }
\hspace{ 4pt } \underbrace{\cdots +\displaystyle \frac{1}{n}}_{ 0 }
-\displaystyle \frac{1}{n+1}\)

\(=1-\displaystyle \frac{1}{n+1}\)

\(=\displaystyle \frac{n}{n+1}\)

途中がことごとく消えてなくなりました。
このパターンこそが知識です。

問題そのものを丸暗記するのではなく、「途中がことごとく消えるはずだ」という知識をもとに、式変形をするのです。

例題２

\(\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } \displaystyle \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}\) を求めよ。

解説

何はともあれ分母の有理化をしてみましょう。

\(\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } \displaystyle \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}\)

\(=\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } \displaystyle \frac{\sqrt{k}-\sqrt{k+1}}{(\sqrt{k}+\sqrt{k+1})(\sqrt{k}-\sqrt{k+1})}\)

\(=\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } \displaystyle \frac{\sqrt{k}-\sqrt{k+1}}{k-(k+1)}\)

\(=\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } (-\sqrt{k}+\sqrt{k+1})\)

\(=(-\sqrt{1}+\sqrt{2})+(-\sqrt{2}+\sqrt{3})+(-\sqrt{3}+\sqrt{4})+\cdots+(-\sqrt{n}+\sqrt{n+1})\)

\(=-\sqrt{1}
\hspace{ 4pt } \underbrace{+\sqrt{2}-\sqrt{2}}_{ 0 }
\hspace{ 4pt } \underbrace{+\sqrt{3}-\sqrt{3}}_{ 0 }
\hspace{ 4pt } \underbrace{+\sqrt{4}\cdots}_{ 0 }
\hspace{ 4pt } \underbrace{\cdots-\sqrt{n}}_{ 0 }
+\sqrt{n+1})\)

\(=\sqrt{n+1}-1\)

この問題も途中がことごとく消えてなくなってくれましたね。

例題３

\(\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } \displaystyle \frac{1}{k(k+2)}\) を求めよ。

解説

\(\displaystyle \frac{1}{k}-\displaystyle \frac{1}{k+2}=\displaystyle \frac{(k+2)-k}{k(k+2)}=\displaystyle \frac{2}{k(k+2)}\)

なので、

\(\displaystyle \frac{1}{k(k+2)}=\displaystyle \frac{1}{2}(\displaystyle \frac{1}{k}-\displaystyle \frac{1}{k+2})\)

と分解されます。
よって、

\(\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } \displaystyle \frac{1}{k(k+2)}\)

\(=\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } \displaystyle \frac{1}{2}(\displaystyle \frac{1}{k}-\displaystyle \frac{1}{k+2})\)

\(=\displaystyle \frac{1}{2}(\displaystyle \frac{1}{1}-\displaystyle \frac{1}{3})+\displaystyle \frac{1}{2}(\displaystyle \frac{1}{2}-\displaystyle \frac{1}{4})+\displaystyle \frac{1}{2}(\displaystyle \frac{1}{3}-\displaystyle \frac{1}{5})+\cdots+\displaystyle \frac{1}{2}(\displaystyle \frac{1}{n}-\displaystyle \frac{1}{n+2})\)

さて、どこが残ってどこが消えるのか、よくわからないですね。
こういうときは、きちんと丁寧に作業をするのみです。

まず、求める和を \(S\) としましょう。つまり、

\(S=\displaystyle \frac{1}{2}(\displaystyle \frac{1}{1}-\displaystyle \frac{1}{3})+\displaystyle \frac{1}{2}(\displaystyle \frac{1}{2}-\displaystyle \frac{1}{4})+\displaystyle \frac{1}{2}(\displaystyle \frac{1}{3}-\displaystyle \frac{1}{5})+\cdots+\displaystyle \frac{1}{2}(\displaystyle \frac{1}{n}-\displaystyle \frac{1}{n+2})\)

右辺のすべての項に \(\displaystyle \frac{1}{2}\) がついていて邪魔です。

両辺を \(2\) 倍しましょう。

\(2S=(\displaystyle \frac{1}{1}-\displaystyle \frac{1}{3})+(\displaystyle \frac{1}{2}-\displaystyle \frac{1}{4})+(\displaystyle \frac{1}{3}-\displaystyle \frac{1}{5})+\cdots+(\displaystyle \frac{1}{n}-\displaystyle \frac{1}{n+2})\)

わかりやすくするために、右辺を並びかえます。
右辺の項を、左から順に、①、②、③、④・・・とすると下のように並びかえます。

\(\begin{eqnarray}2S &=& ①+③+⑤+\cdots \\ &+& ②+④+⑥+\cdots \end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}2S= & \hspace{ 10 pt } & (\displaystyle \frac{1}{1}-\displaystyle \frac{1}{3})+(\displaystyle \frac{1}{3}-\displaystyle \frac{1}{5})+(\displaystyle \frac{1}{5}-\displaystyle \frac{1}{7})+\cdots
\\ &+& (\displaystyle \frac{1}{2}-\displaystyle \frac{1}{4})+(\displaystyle \frac{1}{4}-\displaystyle \frac{1}{6})+(\displaystyle \frac{1}{6}-\displaystyle \frac{1}{8})+\cdots \end{eqnarray}\)

さて、点の先、和の最後はどうなっているか考察しましょう。

最後の項、\((\displaystyle \frac{1}{n}-\displaystyle \frac{1}{n+2})\) は上の段でしょうか、下の段でしょうか？

\(n\) が奇数か、偶数かで場合分けされます。

\(n\) が奇数

\(\begin{eqnarray}2S= & \hspace{ 10 pt } & (\displaystyle \frac{1}{1}-\displaystyle \frac{1}{3})+(\displaystyle \frac{1}{3}-\displaystyle \frac{1}{5})+(\displaystyle \frac{1}{5}-\displaystyle \frac{1}{7})+\cdots +(\displaystyle \frac{1}{n-2}-\displaystyle \frac{1}{n})\hspace{ 10 pt }+(\displaystyle \frac{1}{n}-\displaystyle \frac{1}{n+2})
\\ &+& (\displaystyle \frac{1}{2}-\displaystyle \frac{1}{4})+(\displaystyle \frac{1}{4}-\displaystyle \frac{1}{6})+(\displaystyle \frac{1}{6}-\displaystyle \frac{1}{8})+\cdots +(\displaystyle \frac{1}{n-1}-\displaystyle \frac{1}{n+1})\end{eqnarray}\)

このとき、上段も下段も中の項が消え、

\(\begin{eqnarray}2S= & \hspace{ 10 pt } & \displaystyle \frac{1}{1}-\displaystyle \frac{1}{n+2}
\\ &+& \displaystyle \frac{1}{2}-\displaystyle \frac{1}{n+1}\end{eqnarray}\)

つまり、

\(2S=1+\displaystyle \frac{1}{2}-\displaystyle \frac{1}{n+1}-\displaystyle \frac{1}{n+2}\)・・・①

\(n\) が偶数

\(\begin{eqnarray}2S= & \hspace{ 10 pt } & (\displaystyle \frac{1}{1}-\displaystyle \frac{1}{3})+(\displaystyle \frac{1}{3}-\displaystyle \frac{1}{5})+(\displaystyle \frac{1}{5}-\displaystyle \frac{1}{7})+\cdots +(\displaystyle \frac{1}{n-1}-\displaystyle \frac{1}{n+1})
\\ &+& (\displaystyle \frac{1}{2}-\displaystyle \frac{1}{4})+(\displaystyle \frac{1}{4}-\displaystyle \frac{1}{6})+(\displaystyle \frac{1}{6}-\displaystyle \frac{1}{8})+\cdots +(\displaystyle \frac{1}{n}-\displaystyle \frac{1}{n+2})\end{eqnarray}\)

このとき、上段も下段も中の項が消え、

\(\begin{eqnarray}2S= & \hspace{ 10 pt } & \displaystyle \frac{1}{1}-\displaystyle \frac{1}{n+1}
\\ &+& \displaystyle \frac{1}{2}-\displaystyle \frac{1}{n+2}\end{eqnarray}\)

つまり、

\(2S=1+\displaystyle \frac{1}{2}-\displaystyle \frac{1}{n+1}-\displaystyle \frac{1}{n+2}\)・・・②

\(n\) が偶数でも奇数でも、①、②より、

\(2S=1+\displaystyle \frac{1}{2}-\displaystyle \frac{1}{n+1}-\displaystyle \frac{1}{n+2}\)
であることがわかりましたね。

では計算を進めていきましょう。

\(2S=1+\displaystyle \frac{1}{2}-\displaystyle \frac{1}{n+1}-\displaystyle \frac{1}{n+2}\)

\(=\displaystyle \frac{3}{2}-\displaystyle \frac{1}{n+1}-\displaystyle \frac{1}{n+2}\)

\(=\displaystyle \frac{3(n+1)(n+2)}{2(n+1)(n+2)}-\displaystyle \frac{2(n+2)}{2(n+1)(n+2)}-\displaystyle \frac{2(n+1)}{2(n+1)(n+2)}\)

\(=\displaystyle \frac{3(n^2+3n+2)-(2n+4)-(2n+2)}{2(n+1)(n+2)}\)

\(=\displaystyle \frac{3n^2+5n}{2(n+1)(n+2)}\)

\(=\displaystyle \frac{n(3n+5)}{2(n+1)(n+2)}\)

よって、\(2S\) が求まったので、

\(S=\displaystyle \frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}\)