微分の学習の展望

前回のまとめ
導関数を求めることを微分するといいます。
\(y=f(x)\) の導関数を求めることを
\(y\) を \(x\) で微分するといいます。

導関数を
\(y’\)
\(f'(x)\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}\)
などで表します。

こんなことを学習してきました。

なんだか難しい話が続いてるなあ・・・
と気が滅入っている人に朗報です。

ここから微分は一気に簡単になります。

ちょろっと公式を覚えて、ちょろっと計算するだけの単元になります。
導関数を楽に求める公式を、このページで学習するからです。

今まで、
「導関数を求めるとはそもそも何か」
「導関数の定義は何か」
など、詳しく学習してきました。
導関数を求めるためには、ちょっと面倒な計算もありました。
とても大事なことを学習してきたわけですが、
微分の主役はここからです。

「微分を使って何ができるのか」という実用面に移っていきます。

※ただし、今までの内容もとても重要です。定義をきちんと理解しているか試す、そのような問題もセンター試験で出題されています。

多項式の微分

基本の導関数

\(x^n\) を微分すると \(nx^{n-1}\) が成り立つ。
つまり、
\((x^n)’=nx^{n-1}\)

※ \(n=0\) のときも \((x^n)’=nx^{n-1}\) 成り立っています。
しかし、定数を微分すると \(0\) と覚えてしまいましょう。

さて、どうして \((x^n)’=nx^{n-1}\) が成り立つのか。
これについては、 後回しです。

とりあえず覚えちゃってください。
数秒で覚えられますね。
最重要公式と思ってください。
めちゃめちゃ良く使いますからね。

微分法の公式

\(k\) が定数のとき
\(y=k f(x)\) を微分すると \(y’=k f'(x)\)

\(y=f(x)\pm g(x)\) を微分すると \(y’= f'(x)\pm g'(x)\)

つまり、
\(3x^2\) を微分すると
\((3x^2)’=3×(x^2)’=3×2x=6x\)

\(-5x^3\) を微分すると
\((-5x^3)’=-5×(x^3)’=-5×3x^2=-15x^2\)

\(ax^4\) を微分すると
\((ax^4)’=a×(x^4)’=a×4x^3=4ax^3\)
微分する文字以外の文字は定数扱いです。

\(3x^2 -2x^5\) を微分すると
\((3x^2 -2x^5)’=(3x^2)’-(2x^5)’\)
\(=3×2x-2×5x^4=6x-10x^4\)

以上です！！
めちゃくちゃ簡単じゃないですか！！
数Ⅱの範囲では、これ以上難しい微分はでてきません。

やや不謹慎なことを言ってしまえば

・上の簡単な微分の計算ルールを覚え、計算ができる。
・微分して得たものが導関数であり、そこから接線の傾きが求められる。

この \(2\) つさえ押さえてしまえば、微分の学習の大半はモノにしたも同然です。

そもそも微分とは何か、その定義は何か、
これらはもちろん大事なことです。
ただし・・・
ではどう利用していけるの？という話とは別です。

定義の学習がどうしても難しい！！という人は
実用の方から学習してしまっても良いでしょう。

ただし、定義の方だってテストに出ますから・・・
そのつもりで。

\((x^n)’=nx^{n-1}\) の証明

\(x^n\) を微分すると \(nx^{n-1}\) になることの証明です。

もちろん、微分の定義にしたがって計算します。
それだけです。

\((x^n)’=\displaystyle \lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \)

\(=\displaystyle \lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{(x+h)^n-x^n}{h} \)

ここで分子にある、\((x+h)^n\) を展開します。
正式には二項定理を用いた表現をします。
二項定理がよくわからない！という人にも理解できるようにかきます。

要点は、\((x+h)^n\) を展開すると、

\(x^n+a_1x^{n-1}h+a_2x^{n-2}h^2+a_3x^{n-3}h^3+・・・a_{n-1}xh^{n-1}+a_nh^n\)

となります。\(a_1,a_2,a_3,\)　・・・\(a_n\) はそれぞれ係数です。

そして、\(x^{n-1}h\) の項の係数 \(a_1\) は \(n\) になります。
※各項の係数 \(a_m\) がいくつであるかは二項定理で学習することになります。
いつかきちんと学習してください。ちなみに \(a_m={}_n \mathrm{ C }_m\) です。

さて、話を戻します。

\(\displaystyle \lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{(x+h)^n-x^n}{h} \)

\(=\displaystyle \lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{(x^n+nx^{n-1}h+a_2x^{n-2}h^2+・・・+a_nh^n)-x^n}{h} \)

\(=\displaystyle \lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{nx^{n-1}h+a_2x^{n-2}h^2+・・・+a_nh^n}{h} \)

\(=\displaystyle \lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{h(nx^{n-1}+a_2x^{n-2}h+・・・+a_nh^{n-1})}{h} \)

\(=\displaystyle \lim_{ h \to 0 } (nx^{n-1}+a_2x^{n-2}h+・・・+a_nh^{n-1}) \)

\( =nx^{n-1} \)

これで導けましたね！
※\(nx^{n-1} \) 以外の項にはすべて \(h\) があるため、すべて \(0\) になります。