センター試験・過去問研究

センター試験の過去問を徹底解説します。
センター試験とはどれくらいのレベルの問題が出るのか、どのような出題があるのか、まずは経験値をつみましょう！

解説

\(m\) は、白いボールが取り出された回数です。

つまり、\(4\) 回のうち、\(3\) 回が取り出される確率です。

\(1\) 回の試行で、

白いボールの出る確率は \(\displaystyle \frac{3}{4}\)

黒いボールの出る確率は \(\displaystyle \frac{1}{4}\)

反復試行の確率の公式により、

\({}_4 \mathrm{ C }_3 (\displaystyle \frac{3}{4})^3(\displaystyle \frac{1}{4})=\displaystyle \frac{27}{64}\)

より、アイ＝２７、ウエ＝６４

公式など使わずに

反復試行の確率の公式は覚えている必要はありません。

何が起きたのか、何の確率を求めるのか、きちんと考えれば解けます。

\(4\) 回のうち、\(3\) 回白いボールが取り出される確率ですが、

白、白、白、黒、と取り出す確率。

白、白、黒、白、と取り出す確率。

白、黒、白、白、と取り出す確率。

黒、白、白、白、と取り出す確率。

以上 \(4\) つは排反なので、この \(4\) つの確率の和が求める確率です。

白、白、白、黒、と取り出す確率は、\((\displaystyle \frac{3}{4})^3(\displaystyle \frac{1}{4})=\displaystyle \frac{27}{256}\)

同様に、他も求めるとすべての確率が、\(\displaystyle \frac{27}{256}\) です。

よって、\(\displaystyle \frac{27}{256}×4=\displaystyle \frac{27}{64}\)

以上求まりました。
この解き方が、反復試行の確率の公式そのものです。

\(n=3\) とは、白いボールが連続して取り出された回数の最大値が \(3\) ということなので、

白、白、白、黒と取り出す確率。

黒、白、白、白と取り出す確率。

以上 \(2\) つの和になります。

どちらの場合も、\((\displaystyle \frac{1}{4})^3(\displaystyle \frac{1}{4})=\displaystyle \frac{27}{256}\)
なので、
求める確率は、\(\displaystyle \frac{27}{256}×2=\displaystyle \frac{27}{128}\)
また、これは（１）を「反復試行の公式」を使わずに解いた人にとっては、明らかに（１）の半分です。

オカ＝２７、キクケ＝１２８

\(n=2\) とは、白いボールが連続して取り出された回数の最大値が \(2\) ということなので、

白、白、黒、黒と取り出す確率。

黒、白、白、黒と取り出す確率。

黒、黒、白、白と取り出す確率。

これで終わりにしてはダメですよ、さらに、

白、白、黒、白と取り出す確率。

白、黒、白、白と取り出す確率。

以上 \(5\) つの和になります。

白２回、黒２回の３パターンの確率はいずれも、

\((\displaystyle \frac{3}{4})^2(\displaystyle \frac{1}{4})^2=\displaystyle \frac{9}{256}\)

白３回、黒１回の２パターンの確率はいずれも、

\((\displaystyle \frac{3}{4})^3(\displaystyle \frac{1}{4})=\displaystyle \frac{27}{256}\)

よって、
\(\displaystyle \frac{9}{256}×3+\displaystyle \frac{27}{256}×2=\displaystyle \frac{81}{256}\)

より、コサ＝８１、シスセ＝２５６

この手の問題の最後は「余事象の利用」が定番です。

\(n=0\)
\(n=1\)
\(n=2\)
\(n=3\)
\(n=4\)
の \(5\) つのケースがあり、確率が求まっているは

\(n=2\) のとき \(\displaystyle \frac{81}{256}\)

\(n=3\) のとき \(\displaystyle \frac{27}{128}\)

なので、\(n=0\) と \(n=4\) の確率が求まれば、全事象の確率 \(1\) から引くことで求められます。

\(n=0\) となる確率は、すべて黒の確率なので、

\((\displaystyle \frac{1}{4})^4=\displaystyle \frac{1}{256}\)

\(n=4\) となる確率は、すべて白の確率なので、

\((\displaystyle \frac{3}{4})^4=\displaystyle \frac{81}{256}\)

よって、\(n=1\) となる確率は

\(1-(\displaystyle \frac{81}{256}+\displaystyle \frac{27}{128}+\displaystyle \frac{1}{256}+\displaystyle \frac{81}{256})=\displaystyle \frac{39}{256}\)

より、ソタ＝３９、チツテ＝２５６

参考

本問においては、余事象ではなく、直接 \(n=1\) となる確率を求めても、それほど大きな手間にはならない。練習としてやってみましょう！