\((x-\alpha)(x-\beta)\) の定積分

とてもきれいな式なので、覚えやすいですね。

証明は無視しても良いのですが、ページの最後につけておきます。

例題１

次の定積分を求めなさい。
\(\displaystyle \int_{-1}^3 (x+1)(x-3) dx\)

解説

公式を適用できます。

\(\displaystyle \int_{-1}^3 (x+1)(x-3) dx\)

\(=\displaystyle \int_{-1}^3 \{x-(-1)\}(x-3) dx\)

\(= -\displaystyle \frac{1}{6}\{3-(-1)\}^3 \)

\(=-\displaystyle \frac{32}{3}\)

例題２

次の定積分を求めなさい。
\(\displaystyle \int_2^5 (x^2-7x+10) dx\)

解説

\(x^2-7x+10=(x-2)(x-5)\)
と因数分解できます。

公式が適用できることがわかります。

\(\displaystyle \int_2^5 (x^2-7x+10) dx\)

\(=\displaystyle \int_2^5 (x-2)(x-5) dx\)

\(= -\displaystyle \frac{1}{6}(5-2)^3 \)

\(=-\displaystyle \frac{9}{2}\)

例題３

次の定積分を求めなさい。
\(\displaystyle \int_{2-\sqrt{3}}^{2+\sqrt{3}} (x^2-4x+1) dx\)

解説

上端も下端も、まともに代入計算していたらとても面倒そうですね。
このようなときは、

公式、\(\displaystyle \int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta) dx= -\displaystyle \frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 \) が適用できること第一に想定します。

特に、上端と下端が \(a \pm \sqrt{b}\) になっていれば、まず間違いなく公式適用です。

つまり、\(x^2-4x+1=\{x-(2-\sqrt{3})\}\{x-(2+\sqrt{3})\}\)
と因数分解されることを予想しましょう。
まず間違いなくそうなります。

これを確かめるためには、\(2\) 次方程式 \(x^2-4x+1=0\) を解いてもいいですし、
\(\{x-(2-\sqrt{3})\}\{x-(2+\sqrt{3})\}\) を展開してもいいですね。

実際、\(x^2-4x+1=\{x-(2-\sqrt{3})\}\{x-(2+\sqrt{3})\}\) は成り立ちます。

\(\displaystyle \int_{2-\sqrt{3}}^{2+\sqrt{3}} (x^2-4x+1) dx\)

\(\displaystyle \int_{2-\sqrt{3}}^{2+\sqrt{3}} \{x-(2-\sqrt{3})\}\{x-(2+\sqrt{3})\} dx\)

\(= -\displaystyle \frac{1}{6}\{2+\sqrt{3}-(2-\sqrt{3})\}^3 \)

\(=-4\sqrt{3}\)

公式の証明

証明のポイントは、\((x-\alpha)\) を強引に作って、公式 \(\displaystyle \int (x+b)^n dx=\displaystyle \frac{1}{n+1}(x+b)^{n+1}+C\) の利用に持ちこむことです。
以下の計算の、２行目です。
それ以外の計算は、暗記などしていられません。
ただ計算するだけの一本道です。

\(\displaystyle \int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta) dx\)

\(=\displaystyle \int_\alpha^\beta (x-\alpha)\{(x-\alpha)+\alpha-\beta\} dx\)

\(=\displaystyle \int_\alpha^\beta \{(x-\alpha)^2+(x-\alpha)(\alpha-\beta)\} dx\)

\(=\displaystyle \int_\alpha^\beta (x-\alpha)^2 dx + \displaystyle \int_\alpha^\beta (x-\alpha)(\alpha-\beta) dx\)

\(=\displaystyle \int_\alpha^\beta (x-\alpha)^2 dx + \displaystyle \int_\alpha^\beta \{(\alpha-\beta)x-\alpha(\alpha-\beta)\} dx\)

\(=\left[\displaystyle \frac{1}{3}(x-\alpha)^3 \right]_{\alpha}^{\beta}+\left[\displaystyle \frac{\alpha-\beta}{2}x^2-\alpha(\alpha-\beta)x \right]_{\alpha}^{\beta}\)

\(=\displaystyle \frac{1}{3}(\beta-\alpha)^3+ \displaystyle \frac{\alpha-\beta}{2}(\beta^2-\alpha^2)-\alpha(\alpha-\beta)(\beta-\alpha)\)

\( =\displaystyle \frac{1}{3}(\beta-\alpha)^3+\displaystyle \frac{\alpha-\beta}{2}(\beta+\alpha)(\beta-\alpha)-\alpha(\alpha-\beta)(\beta-\alpha) \)

\( =\displaystyle \frac{1}{3}(\beta-\alpha)^3+\displaystyle \frac{\alpha-\beta}{2}(\beta-\alpha)\{(\beta+\alpha)-2\alpha\} \)

\( =\displaystyle \frac{1}{3}(\beta-\alpha)^3+\displaystyle \frac{\alpha-\beta}{2}(\beta-\alpha)(\beta-\alpha) \)

\( =\displaystyle \frac{1}{3}(\beta-\alpha)^3-\displaystyle \frac{1}{2}(\beta-\alpha)^3 \)

\( =-\displaystyle \frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 \)