\(3\) 次方程式の解法

\(3\) 次以上の方程式を高次方程式といいます。
一般に、\(3\) 次以上の方程式を解くことはとても難しく、必ずうまく解けるとは限りません。
そんな中、高校生相手に出題される高次方程式は、うまく解けるものばかりです。

以下の手順で解ける高次方程式のみが出題されます。

\(3\) 次方程式の解と代数学の基本定理

\(3\) 次方程式の解は、複素数の範囲で \(3\) 個あります。
※\(2\) 重解が \(2\) 個、 \(3\) 重解を \(3\) 個とするとき。

\(3\) 次方程式を分類すると以下の \(4\) パターンです。

１　異なる \(3\) つの実数解 \((x-p)(x-q)(x-r)=0\)
２　異なる \(2\) つの実数解 \((x-p)^2(x-r)=0\)・・・\(p\) は \(2\) 重解
３　\(1\) つの実数解 \((x-p)^3=0\)・・・\(p\) は \(3\) 重解
４　\(1\) つの実数解と異なる \(2\) つの虚数解 \((x-p)\{x-(a+bi)\}\{x-(a-bi)\}=0\)
※虚数解は必ず共役な複素数です。

代数学の基本定理

複素数の範囲で考えると、\(n\) 次方程式は \(n\) 個の解をもつことが知られています。
※\(m\) 重解を \(m\) 個と数えるとき
これを代数学の基本定理といいます。

証明は難しすぎるので割愛します。

\(n\) 次方程式は \(n\) 個の解をもつ。
教養として覚えておきましょう。

例題１

次の方程式を解きなさい。

\(3x^3-24=0\)

解説

共通因数でくくる。
これがすべてのはじまりです。

つまり、
\(3x^3-24=0\)
\(3(x^3-8)=0\)

次に、因数分解の公式が使えるときは使います。
今回は使えます。
\(3(x^3-8)=0\)
\(3(x-2)(x^2+2x+4)=0\)

したがって、
\(x-2=0\)
または
\(x^2+2x+4=0\)
この \(2\) 次方程式を解きます。
解の公式より、

\(x=\displaystyle \frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot1\cdot4}}{2}\)

\(=-1 \pm \sqrt{3}i\)

よって、求める解は
\(x=2,-1 \pm \sqrt{3}i\)

例題２

次の方程式を解きなさい。
\(2x^3+3x^2-5x-6=0\)

解説

公式では因数分解できませんね。
このようなときは、因数定理で探します。
\(P(x)=2x^3+3x^2-5x-6\)　とすると
\(P(-2)=-16+12+10-6=0\)
が見つかるので、\(P(x)\) は \(x+2\) を因数に持ちます。

\(P(x)\) を \(x+2\) で割ると
\(P(x)÷(x+2)=2x^2-x-3\)
したがって、
\(P(x)=(x+2)(2x^2-x-3)\)

\(2x^2-x-3\) は、たすきがけ因数分解が可能で、
\(2x^2-x-3=(x+1)(2x-3)\)

したがって、
\(P(x)=(x+2)(x+1)(2x-3)\)

よって求める解は、
\(x=-2,-1,\displaystyle \frac{3}{2}\)

※\(P(-1)=0\) からももちろん解けます。

例題３

次の方程式を解きなさい。
\(x^3-4x^2+5x-6=0\)

解説

公式では因数分解できませんね。
因数定理でさがします。
\(P(x)=x^3-4x^2+5x-6\)　とすると
\(P(3)=27-36+15-6=0\)
が見つかるので、\(P(x)\) は \(x-3\) を因数に持ちます。

計算すると、
\(P(x)=(x-3)(x^2-x+2)\)
\(x-3=0\)
または、
\(x^2-x+2=0\)

よって
\(x=3,\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{7}i}{2}\)
※\(2\) 次方程式　\(x^2-x+2=0\) は解の公式か平方完成で解きましょう。

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