比例式の条件つきの等式の証明

$\displaystyle \frac{a}{b}=\displaystyle \frac{c}{d}$ のように比例式が与えられたときは、

$\displaystyle \frac{a}{b}=\displaystyle \frac{c}{d}=k$ とおくのが定石です。

$a=bk,c=dk$ であるから、これを代入して文字の数を減らします。

また
$a:b=c:d$ のとき、

$\displaystyle \frac{a}{b}=\displaystyle \frac{c}{d}$

$\displaystyle \frac{a}{c}=\displaystyle \frac{b}{d}$

$ad=bc$

などが成り立ちます。
適宜利用しましょう。

例題１

次の等式を証明しなさい。
$\displaystyle \frac{a}{b}=\displaystyle \frac{c}{d}$ のとき、

$\displaystyle \frac{a^2-4c^2}{b^2-4d^2}=\displaystyle \frac{ac}{bd}$

解説

$\displaystyle \frac{a}{b}=\displaystyle \frac{c}{d}=k$ とおくと、
$a=bk,c=dk$ であるから、これを代入すると

（左辺）=$\displaystyle \frac{(bk)^2-4(dk)^2}{b^2-4d^2}$

$=\displaystyle \frac{k^2(b^2-4d^2)}{b^2-4d^2}$

$=k^2$・・・①

（右辺）$=\displaystyle \frac{(bk)(dk)}{bd}$

$= \displaystyle \frac{(k^2bd)}{bd}$

$=k^2$・・・②

①、②より、$\displaystyle \frac{a^2-4c^2}{b^2-4d^2}=\displaystyle \frac{ac}{bd}$ が成り立つ。

参考

$\displaystyle \frac{a}{b}=\displaystyle \frac{c}{d}=k$ とおいて、文字を $1$ つ増やしています。しかし、$a=bk,c=dk$ として、 $a,c$ の　$2$ つの文字を減らしているので、
結果、 $1$ つ文字を減らすことができています。

また、$k$ という新しい文字を用いなくとも、

$\displaystyle \frac{a}{b}=\displaystyle \frac{c}{d}$ より、

$a=\displaystyle \frac{bc}{d}$ として、

$a$ を消すこともできます。
これで計算を進めていけば、等式を証明することは可能です。

しがし、計算が煩雑になることが多いので、おすすめはしません。

例題２

次の等式を証明しなさい。
$a:b:c=x:y:z$ のとき、

$\displaystyle \frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\displaystyle \frac{xy+yz+zx}{ab+bc+ca}$

解説

$a:b:c=x:y:z$ のとき、$\displaystyle \frac{a}{x}=\displaystyle \frac{b}{y}=\displaystyle \frac{c}{z}$ です。

$\displaystyle \frac{a}{x}=\displaystyle \frac{b}{y}=\displaystyle \frac{c}{z}=k$ とおくと、

$a=kx,b=ky,c=kz$ となり、これを代入します。

(左辺)$=\displaystyle \frac{x^2+y^2+z^2}{(kx)^2+(ky)^2+(kz)^2}$

$=\displaystyle \frac{x^2+y^2+z^2}{k^2(x^2+y^2+z^2)}=\displaystyle \frac{1}{k^2}$・・・①

(右辺)$=\displaystyle \frac{xy+yz+zx}{(kx)(ky)+(ky)(kz)+(kz)(kx)}$

$=\displaystyle \frac{xy+yz+zx}{k^2xy+k^2yz+k^2zx}$

$=\displaystyle \frac{xy+yz+zx}{k^2(xy+yz+zx)}=\displaystyle \frac{1}{k^2}$・・・②

①、②より、$\displaystyle \frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\displaystyle \frac{xy+yz+zx}{ab+bc+ca}$ が成り立つ。

例題３

$x:y=3:4$ のとき

$\displaystyle \frac{2x-y}{x+3y}$ の値を求めなさい。

解説

等式の証明ではありませんが、類題ですね。

$x:y=3:4$ のとき外項の積と内項の積が等しいので、
$4x=3y$
よって、
$x=\displaystyle \frac{3y}{4}$ であり、これを代入します。

$\displaystyle \frac{2x-y}{x+3y}$

$=\displaystyle \frac{2(\displaystyle \frac{3y}{4})-y}{(\displaystyle \frac{3y}{4})+3y}$

$=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{2}y}{\displaystyle \frac{15}{4}y}$

$=\displaystyle \frac{2}{15}$