正弦定理と余弦定理の使い分け

正弦定理と余弦定理について、前ページから見てきました。

前ページの例題の（１）から（３）に続いて、
例題をあと \(2\) つ見ていきしましょう。

例題

次のような三角形 \(ABC\) において、指定されたものを求めなさい。

（４）\(a=3,b=5,c=7\) のとき、角 \(C\) を求めよ。

（５）\(b=\sqrt{6},c=2,B=60°\) のとき、長さ \(a\)、角 \(A,C\) を求めよ。　

解説

（４）\(a=3,b=5,c=7\) のとき、角 \(C\) を求めよ。

向かい合う角と辺がありません。余弦定理で解きましょう。
余弦定理は、「分かっている角」か「求めたい角」のどちらかの向かいの辺からはじまる式を使います。

よって \(c^2\) からはじめます。

\(7^2=3^2+5^2-2×3×5 \cos C\)

これを解いて

\(\cos C=-\displaystyle \frac{1}{2}\)

よって、\(C=120°\)

この問題は正弦定理では解けません。

（５）\(b=\sqrt{6},c=2,B=60°\) のとき、長さ \(a\)、角 \(A,C\) を求めよ。

\(b\) と \(B\) 、向かいあう角と辺があるので、正弦定理が適用できます。

\(\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{\sin 60°}=\displaystyle \frac{2}{\sin C}\)

より、\(\sin C= \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\)

よって、
\(C=45°,135°\)

\(135°\) は三角形の内角として不適なので、\(C=45°\) です。
つまり、残った角 \(A=75°\)

あとは \(a\) を求めますが、\(\sin 75°\) は求まらないため、正弦定理では出せません。

よって、余弦定理を使います。
もちろん、これで間違いではありませんが、
\(45°, 60°,75° \) の三角形は 図示が可能ですね。
\(a=1+\sqrt{3}\) と求まります。

ちなみに、この問題にはじめから余弦定理を使うと、
分かっている角 \(B\) なので、\(b\) からはじまる式です。

\((\sqrt{6})^2=2^2+a^2-2\cdot a\cdot2 \cos 60°\)

\(a^2-2a-2=0\)
この\(2\) 次方程式を解いて（やや面倒ですね）
\(a=1\pm \sqrt{3}\)
\(a \gt 0\) ですから
\(a=1 + \sqrt{3}\)

このあとは,\(b,c\) で正弦定理です。

結局、どちらを先に使っても、大きく解法に差がないとも言えます。
そういうタイプの問題もあるんです。しかし・・・それは結果論です。

正弦定理の方が余弦定理より計算が楽なのは間違いありません。
正弦定理を使えるときはます正弦定理を使いましょう。
上で見たように図示をすることで、余弦定理からの \(2\) 次方程式を解かなくて済むこともありますから。

正弦定理と余弦定理の使い分けのまとめ

三角形の決定問題での最大のポイントは、正弦定理と余弦定理のどっちを使うべきか、という点です。

ちなみに以下のようなパターンあります。

１．正弦定理しか使えない問題　　　　
※\(2\) つの角（有名角）と \(1\) 辺から他の辺を求めるタイプ

２．余弦定理しか使えない問題　　　　
※ \(3\) つの辺から有名角を求めるタイプ　
※ \(2\) 辺とその間の角（有名角）から他の辺や角を求めるタイプ　
※ \(2\) 辺とその間でない \(1\) つの有名角から他の辺を求めるタイプ（他\(2\) つは無名角）

３．どちらも使える問題（それなら正弦定理の方が楽だけど・・・）
※\(2\) 辺とその間でない \(1\) つの有名角からもう \(1\) つの有名角を求めるタイプ

これらをいかにして見抜くかということなんです。

これらを踏まえて、以下のような使い分け案を提示しました。

もし興味があれば、さらに詳しく解析したものを、その \(3\) に載せます。教師、講師の人向けかなと思います。