3次関数のグラフ

\(3\) 次関数のグラフをかく

我々の最大の目標は

\(3\) 次関数のグラフをかくこと!

です。

数学の初心者である高校生にとっては
「微分は \(3\) 次関数のグラフをかくために学習した」
と言ってしまってもいいくらいなのです。

※微分によって、さまざまな計算が可能になっている現代社会。
とりわけ微分方程式は、ありとあらゆる分野で必須の重要なツールですが、
微分方程式は高校数学では扱いません。

\(3\) 次関数のグラフの概形

\(3\) 次関数のグラフについて学習しますが、
まずはその概形を知りましょう。

\(y=ax^3+bx^2+cx+d\) に様々な数値を入れて、
\(x=0\) のときの \(y\)
\(x=1\) のときの \(y\)
などと、実際に計算をして、グラフが通る座標を求めていけば、
おおよそ以下のようなグラフになることが確かめられます。

\(0 \lt a\)

高校数学無料学習サイトko-su- 微分 3次関数のグラフ その1

\(a \lt 0\)

高校数学無料学習サイトko-su- 微分 3次関数のグラフ その2

まずはこの概形を頭に入れてしまいましょう。

\(3\) 次関数のグラフはすべて点対称です。
上であげた例ではすべて、原点 \(O\) が対称の中心となっています。
もちろんグラフを平行移動すれば、対称の中心はずれます。

\(3\) 次関数のグラフの対称の中心は変曲点とよばれます。
極大値と極小値のちょうど中間地点が変曲点です。
対称の中心ですからね。

極大値と極小値は以下で説明します!

極大値・極小値

実際にみなさんが \(3\) 次関数のグラフをかくときに、
実際に座標をいくつもプロットしてかくということはしません。

\(2\) 次関数のグラフをかくときを思い出してください。
\(2\) 次関数のグラフの最大の特徴は、頂点でしたね。
頂点の位置を求めて、そのあとは上に凸か下に凸かで
概形をさらっとかけばOKでした。

\(3\) 次関数も似たようなものです。
グラフにおける山や谷の位置を求めて、曲線でつなぎます。
頂点ではなく、極値といいます。

高校数学無料学習サイトko-su- 微分 3次関数のグラフ 極地ありなし

山の頂点の \(y\) 座標を極大値といいます。
谷の底の \(y\) 座標を極小値といいます。
極大値と極小値をまとめて、極値といいます。

極値はどうやって求めたらいいのでしょうか。
そして、極値を持たない場合もあるので、
その判定はどうしたらいいのでしょうか。

ずばり、微分なのです。

増減表・3次関数のグラフ


\(y=\displaystyle \frac{1}{3}x^3-\displaystyle \frac{1}{2}x^2-2x\)

この \(3\) 次関数のグラフをかいてみましょう。

まずは導関数です。
\(y’=x^2-x-2\)
\(=(x+1)(x-2)\)

高校数学無料学習サイトko-su- 微分 導関数a

導関数をみれば、もとの関数のグラフのおおよその概形がわかる、
前回学習したことです。

傾きが、正か負か \(0\) かのみに注目すればよいのです。
特に \(0\) が大事です。

導関数において、\(x\) を負の方向から正の方向へ、どんどん大きくしていってみましょう。

\(x \lt -1\) のときは、常に \(y’\gt 0\)
つまり、接線の傾きが正なのでもとのグラフは上り坂です。

\(x=-1\) になると接線の傾きが \(0\) 、つまりもとのグラフは平らになり、

\(x=-1\) をほんの少しでも超えると、\(y’\lt 0\) となります。
つまり、接線の傾きが負なのでもとのグラフは下り坂です。

\(y’\lt 0\) なのは、、\(-1 \lt x \lt 2\) の範囲です。

\(x=2\) となると接線の傾きが再び \(0\) になります。つまりもとのグラフは平らになります。

\(x=2\) をほんの少しでも超えると、\(y’\gt 0\) となります。
つまり、接線の傾きが正なのでもとのグラフは上り坂です。

この情報は増減表というものにまとめるのが慣例です。

\(\begin{array}{c|ccccc}
x & \cdots & -1 & \cdots & 2 & \cdots \\
\hline
f’(x) & + & 0 & – & 0 & + \\
\hline
f(x) & \nearrow & \displaystyle \frac{7}{6} & \searrow & -\displaystyle \frac{10}{3} & \nearrow\end{array}\)

\(f(-1)=\displaystyle \frac{7}{6}\) や \(f(2)=-\displaystyle \frac{10}{3}\) の値は、

\(f(x)=\displaystyle \frac{1}{3}x^3-\displaystyle \frac{1}{2}x^2-2x\)

に代入して計算して求めます。

さて、増減表から得た情報からグラフをかきます。

まずは極値をとります。
同じく増減表から、
増えて、減って、増えるグラフであることがわかるので下図のような概形です。

高校数学無料学習サイトko-su- 微分 3次関数のグラフ ラフスケッチ

しかし、こんなにカクカクのグラフをかいてはいけません。
「\(3\) 次関数のグラフはおおよそこうなる」という知識をもとに、
なめらかにつなぐのが暗黙のルールです。

特に大事な \(2\) 点を挙げます。

極値では、傾きが \(0\) であること。
極値は、放物線の頂点のようにかきます。
だんだん傾きが緩やかになっていき、\(0\) になり、
まただんだん傾きが急になっていきます。

\(y\) 軸との交点も求める。
\(x=0\) のときの値はとても簡単に求められます。
必ず求めましょう。
\(x\) 軸との交点は、必ずしも求める必要はありません。

\(y=\displaystyle \frac{1}{3}x^3-\displaystyle \frac{1}{2}x^2-2x\) で \(x=0\) のとき \(y=0\)
よって、\(y\) 軸との交点は原点なので、グラフは下図のようになります。

高校数学無料学習サイトko-su- 微分 3次関数のグラフ 完成

ちなみに変曲点(対称の中心)は、\(2\) つの極値の中間地点です。
つまり、 \(x=-1\) と \(x=2\) の中間、\(x=\displaystyle \frac{1}{2}\) の点です。
作図において、少し意識できると良いですが、あまりこだわらないでもOKです。

次ページで、さまざま \(3\) 次関数のグラフをかく練習を積んでいきましょう!