２次関数の決定

\(2\) 次関数の決定

与えられた情報から、\(2\) 次関数を具体的に決定する問題を見ていきましょう。

\(2\) 次関数は、\(y=ax^2+bx+c\) という形です。
つまり、\(a,b,c\) を決定せよ、という問題です。

あるいは、
\(2\) 次関数は、\(y=a(x-p)^2+q\) という形です。
つまり、\(a,p,q\) を決定せよ、という問題です。

与えられた情報を式に代入していくことで得られた式を連立して解くだけです。

どちらの形を利用した方が楽か考えて、代入します。
軸や頂点がわかるときは、\(y=a(x-p)^2+q\) に代入すればよいですね。

次の条件を満たす放物線をグラフにもつ \(2\) 次関数を求めなさい。

頂点が \((1,-3)\) で、点 \((3,1)\) を通る

この問題では、頂点が与えられています。
つまり、\(y=a(x-p)^2+q\) という形に代入できます。

頂点が \((1,-3)\) なので、
\(y=a(x-1)^2-3\)

通る点 \((3,1)\) を代入すると
\(1=a(3-1)^2-3\)
より、
\(a=1\)

よって、\(y=a(x-1)^2-3\) に \(a=1\) を代入して、
\(y=(x-1)^2-3\)
\(y=x^2-2x-2\)

次の条件を満たす放物線をグラフにもつ \(2\) 次関数を求めさない。

直線 \(x=2\) を軸とし、\(2\) 点　\((0,5)\) \((3,-1)\) を通る。

軸の情報が使えるのは、\(y=a(x-p)^2+q\) という形です。
軸は、頂点の \(x\) 座標が与えられたのと同じことです。

直線 \(x=2\) が軸なので、求める \(2\) 次関数は、

\(y=a(x-2)^2+q\) となります。

あとは通る点を代入します。
未知数は \(a,q\) の \(2\) つ、
通る点も \(2\) つ与えられているので、
連立方程式で解けますね。

\((0,5)\) を通るので、
\(5=a(0-2)^2+q\)
整理して、
\(5=4a+q\)・・・①

\((3,-1)\) を通るので、
\(-1=a(3-2)^2+q\)
整理して、
\(-1=a+q\)・・・②

①，②を連立すれば、 \(a,q\) いずれも求まります。
①－②より
\(3a=6\)
\(a=2\)
これを②に代入して、
\(q=-3\)

したがって求める \(2\) 次関数は、
\(y=2(x-2)^2-3\)
\(y=2x^2-8x+5\)

次の条件を満たす放物線をグラフにもつ \(2\) 次関数を求めさない。

\(3\) 点 \((-1,7) ,(1,1),(2,10)\) を通る。

\(y=ax^2+bx+c\) に通る点を代入します。
※\(y=a(x-p)^2+q\) に代入しても答えは得られますが、計算は面倒です。
まったくおススメできません。

それぞれ代入して、以下の \(3\) つの式を得ます。
\(7=a-b+c\)・・・①
\(1=a+b+c\)・・・②
\(10=4a+2b+c\)・・・③

あとはこれを解きます。
どのような手順で解いてもかまいませんが、一例を示すと
①－②より、
\(6=-2b\)
よって \(b=-3\)
これを②に代入して整理すると
\(4=a+c\)・・・④
\(b=-3\)を③に代入して整理すると
\(16=4a+c\)・・・⑤

⑤－④ より、
\(12=3a\)
\(a=4\)

あとはこれを④に代入して \(c=0\)

よって、求める \(2\) 次関数は、
\(y=4x^2-3x\)