２次方程式を解く

２次方程式の学習の大半は、中学校の数学で学習済みですね。
このページでは新しく判別式というものを学習します。

さて、\(2\) 次方程式を解くとき、因数分解による解法、平方完成による解法と中学校で学習してきました。
ここではそれを確認することはしません。

そして、中学校のときに「解の公式」を習いました。
高校数学においては、この「解の公式」をより深く学習していくことなります。

具体例で見ていきましょう。

例１

次の \(2\) 次方程式を解きなさい。
\(x^2+7x-4=0\)

解説

\(a=1\)・・・\(x^2\) の係数
\(b=7\)・・・\(x\) の係数
\(c=-4\)・・・定数項
を \(x=\displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
に代入します。

解の公式より、

\(x=\displaystyle \frac{-7 \pm \sqrt{7^2-4\cdot1\cdot(-4)}}{2\cdot1}\)

\(=\displaystyle \frac{-7 \pm \sqrt{65}}{2}\)

\(x=\displaystyle \frac{-7 + \sqrt{65}}{2},\displaystyle \frac{-7 – \sqrt{65}}{2}\)

という意味ですよ。念のため。

例２

次の \(2\) 次方程式を解きなさい。
\(3x^2+5x-2=0\)

解説

解の公式より、

\(x=\displaystyle \frac{-5 \pm \sqrt{5^2-4\cdot3\cdot(-2)}}{2\cdot3}\)

\(=\displaystyle \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{6}\)

\(=\displaystyle \frac{-5 \pm 7}{6}\)

つまり、
\(x=-2,\displaystyle \frac{1}{3}\)

※ \(3x^2+5x-2=(3x-1)(x+2)\)
とたすきがけの因数分解をしても解けますね。

例３

次の \(2\) 次方程式を解きなさい。
\(9x^2-12x+4=0\)

解説

解の公式より、

\(x=\displaystyle \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2-4\cdot9\cdot4}}{2\cdot9}\)

\(=\displaystyle \frac{12 \pm \sqrt{0}}{18}\)

\(=\displaystyle \frac{2}{3}\)

ルートの中がちょうど \(0\) になりました。
このとき解が \(1\) つになります。

このような解を重解といいます。

※もちろん平方の因数分解でも解決します。
\(9x^2-12x+4=(3x-2)^2\) と因数分解されますね。

例４

次の \(2\) 次方程式を解きなさい。
\(x^2-2x+3=0\)

解説

解の公式より、

\(x=\displaystyle \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot3}}{2\cdot1}\)

\(=\displaystyle \frac{2 \pm \sqrt{-8}}{2}\)

あれ？
分子の平方根の中が負の数です。
こんな数は存在しない！というのが中学 \(3\) 年で学習したことなんですけど、覚えていますか。

つまり、この \(2\) 次方程式、\(x^2-2x+3=0\) は解がないのです。

解なし、が答えになります。

より詳しく見ていきましょう。

中学のときには、このような「解がない \(2\) 次方程式」には出会いませんでした。
「解がない \(2\) 次方程式がある」という事実も隠されていたのです。
解がある方程式のみを、テスト（入試）で出題していただけなのです。

\(2\)次方程式の解の個数

実数解

\(2\) 次方程式が、いくつの解を持つのか。
これについて分類してみます。

ここからは、数学的にふさわしい言葉を使います。

実数解

です。
\(2\) 次方程式、\(ax^2+bx+c\) の実数解の個数について分類をしていきます。

なぜ、「解」ではなく「実数解」と言葉を変えたのか！？

ズバリ答えを書きますと、「実数ではない解」も、近い将来考えていくことになるからです。
数学Ⅱで学習することになりますが、「実数」ではない数、「虚数」です。
いずれは、「虚数解」についても考察することになります。

判別式と実数解の個数

上で見てきたように \(2\) 次方程式、\(ax^2+bx+c\) の実数解の個数は、

解の公式、\(x=\displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

における根号の中、\(b^2-4ac\) で決まります。

\(2\) 次方程式の解は普通 \(2\) つ求まりますが、

\(b^2-4ac=0\) になると、実数解は \(x=\displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{0}}{2a}=\displaystyle \frac{-b }{2a}\) と \(1\) つになり、

\(b^2-4ac \lt 0\) になると、根号の中が負になり、実数解はなしになります。

つまり、
\(2\) 次方程式、\(ax^2+bx+c\) の実数解の個数は、
\(b^2-4ac\) の符号を調べることで、わかります。
この \(b^2-4ac\) を判別式といい、\(D\) で表します。

以下の \(3\) 通りがあります。

重解とは、字のごとく重なっているイメージです。
解を \(2\) つもつ \(2\) 次方程式 \(\Longleftrightarrow(x-a)(x-b)=0\)
解を\(1\) つもつ \(2\) 次方程式　\(\Longleftrightarrow(x-c)^2=0\)
解が \(1\) つのときは重なっている感じがしますね。