ポイント

\(\sin \theta\) と \(\cos \theta\) が混在している式は、
合成によって、\(\sin (\theta+a)\) と \(1\) つにまとめることが基本的な方針になります。

合成できるのは、角が同じときです。
\(a\sin \theta\) と \(b\cos \theta\) は合成できますが、
\(a\sin \theta\) と \(b\cos 2\theta\) は合成できません。

例題１

\(0 \leqq \theta \lt 2\pi\) のとき、次の方程式 を解きなさい。
\(\sin \theta-\cos \theta=1\)

解説

角がどちらも \(\theta\) なので、合成しましょう。

\(\sin \theta-\cos \theta=1\)

\(\sqrt{2} \sin (\theta-\displaystyle \frac{\pi}{4})=1\)
※あるいは、\(\sqrt{2} \sin (\theta+\displaystyle \frac{7}{4}\pi)=1\) どちらでもＯＫです。

\(\sin (\theta-\displaystyle \frac{\pi}{4})=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(0 \leqq \theta \lt 2\pi\) のとき

\(-\displaystyle \frac{\pi}{4} \leqq \theta-\displaystyle \frac{\pi}{4} \lt \displaystyle \frac{7}{4}\pi\)

下図のようになります。

よって、\(0 \leqq \theta \lt 2\pi\) のとき求める解は、
\(\theta-\displaystyle \frac{\pi}{4}=\displaystyle \frac{\pi}{4}\) と　\(\theta-\displaystyle \frac{\pi}{4}=\displaystyle \frac{3}{4}\pi\)

よって、\( \theta=\displaystyle \frac{\pi}{2},\pi \)

例題２

\(0 \leqq \theta \lt 2\pi\) のとき、次の不等式 を解きなさい。

\(\sqrt{3}\sin \theta+\cos \theta \lt \sqrt{2}\)

解説

角がどちらも \(\theta\) なので、合成しましょう。

\(\sqrt{3}\sin \theta+\cos \theta =2\sin(\theta+\displaystyle \frac{\pi}{6})\) と合成できるので、

\(\sqrt{3}\sin \theta+\cos \theta \lt \sqrt{2}\)　は

\(2\sin(\theta+\displaystyle \frac{\pi}{6}) \lt \sqrt{2}\)

\(\sin(\theta+\displaystyle \frac{\pi}{6}) \lt \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(0 \leqq \theta \lt 2\pi\) のとき

\(\displaystyle \frac{\pi}{6} \leqq \theta+\displaystyle \frac{\pi}{6} \lt \displaystyle \frac{13}{6}\pi\)
下図のようになります。

\(\displaystyle \frac{\pi}{6} \leqq \theta+\displaystyle \frac{\pi}{6} \leqq \displaystyle \frac{\pi}{4}\) と \(\displaystyle \frac{3}{4}\pi \leqq \theta+\displaystyle \frac{\pi}{6} \lt \displaystyle \frac{13}{6}\pi\)

したがって、\(0 \leqq \theta \leqq \displaystyle \frac{\pi}{12}\) と \(\displaystyle \frac{7}{12}\pi \leqq \theta \lt 2\pi\)