三角方程式・不等式・合成の利用

ポイント

sinθcosθ が混在している式は、
合成によって、sin(θ+a)1 つにまとめることが基本的な方針になります。

合成できるのは、角が同じときです。
asinθbcosθ は合成できますが、
asinθbcos2θ は合成できません。

例題1

0θ<2π のとき、次の方程式 を解きなさい。
sinθcosθ=1

解説

角がどちらも θ なので、合成しましょう。

sinθcosθ=1

2sin(θπ4)=1
※あるいは、2sin(θ+74π)=1 どちらでもOKです。

sin(θπ4)=12

0θ<2π のとき

π4θπ4<74π

下図のようになります。
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よって、0θ<2π のとき求める解は、
θπ4=π4 と θπ4=34π

よって、θ=π2,π

例題2

0θ<2π のとき、次の不等式 を解きなさい。

3sinθ+cosθ<2

解説

角がどちらも θ なので、合成しましょう。

3sinθ+cosθ=2sin(θ+π6) と合成できるので、

3sinθ+cosθ<2 は

2sin(θ+π6)<2

sin(θ+π6)<22=12

0θ<2π のとき

π6θ+π6<136π
下図のようになります。

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π6θ+π6π434πθ+π6<136π

したがって、0θπ12712πθ<2π