三角方程式・不等式・合成の利用
ポイント
sinθ と cosθ が混在している式は、
合成によって、sin(θ+a) と 1 つにまとめることが基本的な方針になります。
合成できるのは、角が同じときです。
asinθ と bcosθ は合成できますが、
asinθ と bcos2θ は合成できません。
例題1
0≦θ<2π のとき、次の方程式 を解きなさい。
sinθ−cosθ=1
解説
角がどちらも θ なので、合成しましょう。
sinθ−cosθ=1
√2sin(θ−π4)=1
※あるいは、√2sin(θ+74π)=1 どちらでもOKです。
sin(θ−π4)=1√2
0≦θ<2π のとき
−π4≦θ−π4<74π
下図のようになります。
よって、0≦θ<2π のとき求める解は、
θ−π4=π4 と θ−π4=34π
よって、θ=π2,π
例題2
0≦θ<2π のとき、次の不等式 を解きなさい。
√3sinθ+cosθ<√2
解説
角がどちらも θ なので、合成しましょう。
√3sinθ+cosθ=2sin(θ+π6) と合成できるので、
√3sinθ+cosθ<√2 は
2sin(θ+π6)<√2
sin(θ+π6)<√22=1√2
0≦θ<2π のとき
π6≦θ+π6<136π
下図のようになります。
π6≦θ+π6≦π4 と 34π≦θ+π6<136π
したがって、0≦θ≦π12 と 712π≦θ<2π