ポイント

最大値、最小値は、グラフをかいて解きましょう。

結局は、$1$ 次関数か $2$ 次関数の処理になります。

$\sin \theta=t$ あるいは $\cos \theta=t$ などと置き換えて
$t$ の $1$ 次関数（直線）として解きましょう。

あるいは、
$\sin^2 \theta +\cos^2 \theta =1$
を用いて、$\sin \theta$ あるいは $\cos \theta$ だけの $2$ 次式にします。
その後は $\sin \theta=t$ あるいは $\cos \theta=t$ などと置き換えて、
$t$ の $2$ 次関数（放物線）の処理です。

いずれの場合も、$t$ の取り得る値の範囲に注意しましょう。

例題１

$0 \leqq \theta \lt 2\pi$ のとき、次の関数の最大値、最小値 を求めなさい。
また、そのときの $\theta$ の値を求めなさい。

$y=\displaystyle \frac{2}{3}\sin \theta +1$

解説

$\sin \theta$ を $t$ とおくと $-1 \leqq t \leqq 1$ ・・・①

このとき、$y=\displaystyle \frac{2}{3}\sin \theta +1$ は、

$y=\displaystyle \frac{2}{3}t +1$

グラフは①の範囲で以下のようになります。

グラフより、

$t=-1$ のとき、最小値 $\displaystyle \frac{1}{3}$、$t=1$ のとき、最大値 $\displaystyle \frac{5}{3}$ です。

つまり、

$t=\sin \theta =-1$ のとき、 $\theta =\displaystyle \frac{3}{2}\pi$ なので、$\theta =\displaystyle \frac{3}{2}\pi$ で、最小値 $\displaystyle \frac{1}{3}$

$t=\sin \theta=1$ のとき、 $\theta =\displaystyle \frac{\pi}{2}$ なので、$\theta =\displaystyle \frac{\pi}{2}$ で、最大値 $\displaystyle \frac{5}{3}$

例題２

$0 \leqq \theta \lt 2\pi$ のとき、次の関数の最大値、最小値 を求めなさい。
また、そのときの $\theta$ の値を求めなさい。

$y=\sin^2 \theta – \cos \theta +1$

解説

$\sin^2 \theta +\cos^2 \theta =1$ を用いて、
$y=\sin^2 \theta – \cos \theta +1$ を $\cos \theta$ だけの式にします。

$y=(1-\cos^2 \theta) – \cos \theta +1$
$y=-\cos^2 \theta – \cos \theta +2$

$\cos \theta =t$ とおくと $-1 \leqq t \leqq 1$ ・・・①

このとき、$y=-\cos^2 \theta – \cos \theta +2$ は、

$y=-t^2-t+2$

平方完成してグラフをかきます。
$y=-(t+\displaystyle \frac{1}{2})^2+\displaystyle \frac{9}{4}$

また、$y=-t^2-t+2=-(t-1)(t+2)$ なので、 $t$ 軸との交点もわかります。
①の範囲でグラフは以下のようになります。

グラフより、

$t=-\displaystyle \frac{1}{2}$ つまり、$\cos \theta =-\displaystyle \frac{1}{2}$ で最大値 $\displaystyle \frac{9}{4}$ をとり、

$t=1$ つまり、$\cos \theta =1$ で最小値 $0$ をとります。

$0 \leqq \theta \lt 2\pi$ で $\theta$ について解くと、

$\cos \theta =-\displaystyle \frac{1}{2}$ つまり、 $\theta =\displaystyle \frac{2}{3}\pi, \displaystyle \frac{4}{3}\pi$ のとき、最大値 $\displaystyle \frac{9}{4}$

$\cos \theta =1$ つまり、$\theta =0$　のとき、最小値 $0$