例題
\(0° \leqq \theta \leqq 180°\) のとき、次のような \(\theta\) を求めなさい。
\(2\sin \theta -1=0\)
解説
難しく考える必要はまったくありません。
ただの \(1\) 次方程式です。
\(\sin \theta\) がいくつならば、この等式は成り立ちますか？
という問題です。
中学数学のとき習った、 \(1\) 次方程式を解く手順そのままです。
\(2\sin \theta -1=0\)
左辺の \(-1\) を右辺に移項すると
\(2\sin \theta =1\)
両辺を \(2\) で割ると
\(\sin \theta =\displaystyle \frac{1}{2}\)
これを満たす \(\theta\) を求めるだけです。
単位円の図示から求めましょう。
\(\theta=30°,150°\)
と求まります。
例題２
\(0° \leqq \theta \leqq 180°\) のとき、次のような \(\theta\) を求めなさい。
\((\cos \theta -1)(2\cos \theta +1)=0\)
解説
\(2\) 次方程式です。
\(AB=0\) ならば、\(A=0\) または \(B=0\)
です。
中学 \(3\) 年で学習した、\(2\) 次方程式の基礎です。
つまり、
\(\cos \theta -1=0\) または、
\(2\cos \theta +1=0\)
をみたす \(\theta\) を求めたいわけです。
\(\cos \theta -1=0\) より、
\(\cos \theta =1\)
よって、
\(\theta =0°\)
また、
\(2\cos \theta +1=0\) より
\(2\cos \theta =-1\)
\(\cos \theta =-\displaystyle \frac{1}{2}\)
よって、
\(\theta =120°\)
以上より、\(\theta =0°,120°\) と求まりました。
別解
この問題が、\(2\) 次方程式であることを
よりわかりやすくするならば、
\(\cos \theta =t\) のように、置き換えをします。
与式は
\((\cos \theta -1)(2\cos \theta +1)=0\)
なので、
\(\cos \theta =t\) とすれば、
与式 \(=\)\((t -1)(2t +1)=0\)
もう \(2\) 次方程式そのものです！
あとは、\(2\) 次方程式を解いて、
\(t=\cos \theta\)
と戻せば上の解法と同じです。