実数の分類
このページでは、我々が用いている「数」について、理解を深めておきます。
「実数の分類」です。
実数
そもそも実数という言葉です。
実数とは、「普段我々が使っている数」と思ってもらってＯＫです。
数直線上の点として表すことのできる数です。
実数は、有理数と無理数の \(2\) つに分けられます。
さらに、有理数は、整数、有限小数、循環小数に分類されます。
以下で、くわしく見ていきましょう。
※実数ではない「数」もあります。「虚数」と呼ばれます。数学Ⅱで学習します。
有理数と無理数
実数はまず、有理数か無理数かのどちらかに分けられます。
その基準は、
分数 \(\displaystyle \frac{a}{b}\) で表すことができるかどうか（ただし \(b \neq 0\)）。
有理数とは、分数 \(\displaystyle \frac{a}{b}\) で表すことができる数です。
\(b=1\) のときに整数となります。整数も有理数です。
無理数とは、分数 \(\displaystyle \frac{a}{b}\) で表すことができない数です。
無理数の代表例は、\(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}\) などです。
そして、円周率 \(\pi\)
いずれも、分数で表すことができないために、このような特別な表示をしています。
※無理数は上の例以外にもいくらでも、正しくは無限にあります。我々人類が、表示方法をまだ作っていないような、そんな無理数が無限にあります。しかし、高校数学の範囲で、そのような数とふれあうことはありませんのでご安心を。
有理数の分類
先ほどもふれましたが、有理数は、整数、有限小数、循環小数に分類されます。
順に見ていきましょう。
整数
整数とは何か、説明不要でしょうが、
\(0,\pm1,\pm2,\pm3,\cdots\)
のような数のことです。
小数点以下が \(0\) の数ですね。
すべて、分母が \(1\) の分数表示が可能です。
また、正の整数のことを自然数といいます。 \(0\) は含みません、 \(1\) 以上の整数が自然数です。
有限小数
整数でない有理数を小数で表すと、有限小数か循環小数になります。
まずは有限小数です。分子÷分母の計算をしたとき、どこかで割り切れるものです。
\(\displaystyle \frac{1}{2}=0.5\)
\(\displaystyle \frac{1}{8}=0.125\)
\(\displaystyle \frac{9}{5}=1.8\)
循環小数
分子÷分母をしたときに、いつまでも割り切れないものです。
\(\displaystyle \frac{1}{7}=0.142857142857\cdots\)
\(\displaystyle \frac{1}{3}=0.333\cdots\)
無限に続く小数点以下に並ぶ数は、必ず同じ数の組をくりかえします（循環します）。
これら循環小数は、循環する部分の最初の数と最後の数の上に・印をつけて表します。
\(\displaystyle \frac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7}\)
\(\displaystyle \frac{1}{3}=0.\dot{3}\)
\(\displaystyle \frac{5}{6}=0.8333\cdots=0.8\dot{3}\)
\(\displaystyle \frac{17}{22}=0.77272727\cdots=0.7\dot{2}\dot{7}\)
逆に、有限小数や循環小数は必ず分数の形で表すことができます。
循環小数の練習
例題１
次の分数を小数に直しなさい。
（１）\(\displaystyle \frac{9}{8}\)
（２）\(\displaystyle \frac{31}{54}\)
解説
実際にわり算を行います。
（１）\(\displaystyle \frac{9}{8}\)
\(9÷8=1.125\)
（２）\(\displaystyle \frac{31}{54}\)
\(31÷54=0.5740740\cdots\)
\(=0.5\dot{7}4\dot{0}\)
例題２
次の循環小数を既約分数の形に表しなさい。
（１）\(0.\dot{1}2\dot{3}\)
（２）\(0.7\dot{4}\dot{3}\)
解説
（１）\(0.\dot{1}2\dot{3}\)
\(x=0.\dot{1}2\dot{3}\) とおきます。
\(1000x-x\) を下図のように並べて計算します。
\(\begin{eqnarray}1000x &=& 123.123123\cdots \\ x &=& \hspace{ 10pt }0.123123\cdots \end{eqnarray}\)
上から下を引きます。
\(999x=123\)
\(x=\displaystyle \frac{123}{999}=\displaystyle \frac{41}{333}\)
見事に、無限に続く小数点以下が消えました。
解法パターン暗記です！
（２）\(0.7\dot{4}\dot{3}\)
\(x=0.7\dot{4}\dot{3}\) とおきます。
無限に続く、\(434343\cdots\) が消えるようにします。
\(10x-x\) か、 \(100x-x\) か、\(1000x-x\) か、ちょっと書いてみればわかります。
\(100x-x\) を下図のように並べて計算します。
\(\begin{eqnarray}100x &=& 74.3434343\cdots \\ x &=& \hspace{ 5pt }0.7434343\cdots \end{eqnarray}\)
上から下を引きます。
\(99x=73.6\)
\(x=\displaystyle \frac{73.6}{99}=\displaystyle \frac{736}{990}\)
\(=\displaystyle \frac{368}{495}\)