絶対値記号を含む方程式・不等式
絶対値記号の外にも \(x\) の式があるとき、必ず絶対値記号の中の式を、\(0\) 以上と負とで場合分けして解きます。
例題１
次の方程式を解きなさい。
\(| x-2 |=2x+1\)
解説
絶対値とは原点からの距離です。
絶対値の中が \(0\) 以上か負かで、場合分けが必要です。
\( x-2 \geqq 0\) のとき、
\(| x-2 |=x-2\)
\(x-2 \lt 0\) のとき
\(| x-2 |=-(x-2)\)
このように、\(2\) つの場合を順に解いていきましょう。
\( x-2 \geqq 0\)
\( x-2 \geqq 0\) つまり、\(x \geqq 2\) のとき
\(| x-2 |=2x+1\)
\(x-2 =2x+1\)
\(-x=3\)
\(x=-3\)
これは、\(x \geqq 2\) を満たさないためダメである。・・・①
\( x-2 \lt 0\)
\( x-2 \lt 0\) つまり、\(x \lt 2\) のとき
\(| x-2 |=2x+1\)
\(-(x-2) =2x+1\)
\(-x+2=2x+1\)
\(1=3x\)
\(x=\displaystyle \frac{1}{3}\)
これは、\(x \lt 2\) を満たす。・・・②
以上、①，②より、\(x=\displaystyle \frac{1}{3}\)
例題２
次の不等式を解きなさい。
\(| 2x-1 |\lt x+3\)
解説
もちろん場合分けをして解きます。
\( 2x-1 \geqq 0\)
\( 2x-1 \geqq 0\) つまり、\(x \geqq \displaystyle \frac{1}{2}\) のとき
\(| 2x-1 |\lt x+3\)
\(2x-1 \lt x+3\)
\(x \lt 4\)
\(x \geqq \displaystyle \frac{1}{2}\) なので、
\(\displaystyle \frac{1}{2} \leqq x \lt 4\)・・・①
\( 2x-1 \lt 0\)
\( 2x-1 \lt 0\) つまり、\(x \lt \displaystyle \frac{1}{2}\) のとき
\(| 2x-1 |\lt x+3\)
\(-(2x-1) \lt x+3\)
\(-2x+1 \lt x+3\)
\(-3x \lt 2\)
\(x \gt -\displaystyle \frac{2}{3}\)
\(x \lt \displaystyle \frac{1}{2}\) なので、
\(-\displaystyle \frac{2}{3} \lt x \lt \displaystyle \frac{1}{2}\)・・・②
よって、①、②より、
\(-\displaystyle \frac{2}{3} \lt x \lt 4\)