絶対値記号を含む方程式・不等式

ko-su-

7年前

絶対値は、数直線で視覚的に処理しましょう。

\(| x |=a\) の解は、\(x= \pm a\)
ただし \(a \gt 0\)

例
\(| x |=4\) の解は、\(x=\pm 4\)

\(|x| \lt a\) の解は、\(-a \lt x \lt a\)
ただし \(a \gt 0\)

例
\(|x| \lt 3\) の解は、\(-3 \lt x \lt 3\)

\(|x| \gt a\) の解は、\(x \lt -a,a \lt x\)
ただし \(a \gt 0\)

例
\(|x| \gt 2\) の解は、\(x \lt -2,a \lt 2\)

次の方程式を解きなさい。

\(| 2x-1 |=5\)

絶対値とは原点からの距離ですね。
\(2x-1 =5\) と \(2x-1 =-5\) の \(2\) つの式が、一つの式で表されています。

\( 2x-1= \pm 5\)
\( 2x= 1 \pm 5\)

\( x= \displaystyle \frac{1 \pm 5}{2}\)

\(x=3,-2\)

次の不等式を解きなさい。

\(| -x+4 |\lt 5\)

\(|x| \lt a\) の解は、\(-a \lt x \lt a\) です。
※暗記できていなくとも、数直線で確認すれば自ら導出できますね。

\(| -x+4 |\lt 5\)
\(-5 \lt -x+4 \lt 5\)
\(-5-4 \lt -x \lt 5-4\)
\(-9 \lt -x \lt 1\)
すべての項を \(-1\) 倍して、
\(9 \gt x \gt -1\)
ふつう向きを逆にかきますね。

\(-1 \lt x \lt 9\)

次の不等式を解きなさい。

\(| 3x-7 | \geqq 2\)

\(|x| \gt a\) の解は、\(x \lt -a,a \lt x\)
※暗記できていなくとも、数直線で確認すれば自ら導出できますね。

\(| 3x-7 | \geqq 2\)
\(3x-7 \leqq -2\) 、\(2 \leqq 3x-7\)

\(3x-7 \leqq -2\) を解いて、
\(3x \leqq 5\)

\(x \leqq \displaystyle \frac{5}{3}\)

\(2 \leqq 3x-7\) を解いて
\(9 \leqq 3x\)
\(3 \leqq x\)

よって、\(x \leqq \displaystyle \frac{5}{3}\)、\(3 \leqq x\)