ｎ乗の漸化式
\(a_{ n+1 }=p a_{ n }+r^n\)
このタイプは、２通りの解法が知られています。
漸化式の両辺を \(r^{n+1}\) で割る。\(\longrightarrow\) 特性方程式形になる。
漸化式の両辺を \(p^{n+1}\) で割る。\(\longrightarrow\) 階差数列形になる。
例題１
\(a_{ 1 }=1\)
\(a_{ n+1 }=2a_{ n }+3^n\)
解説
特性方程式で解きましょう。
\(a_{ n+1 }=2a_{ n }+3^n\) の両辺を \(3^{n+1}\) で割ると
\(\displaystyle \frac{a_{ n+1 }}{3^{n+1}}=\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\displaystyle \frac{a_{ n }}{3^{n}}+\displaystyle \frac{1}{3}\)・・・①
\(b_{ n }=\displaystyle \frac{a_{ n }}{3^{n}}\) ・・・②とおくと
①は、
\(b_{ n+1 }=\displaystyle \frac{2}{3}b_{ n }+\displaystyle \frac{1}{3}\)
\(b_{ n+1 }=\displaystyle \frac{2}{3}b_{ n }+\displaystyle \frac{1}{3}\)
\(\alpha=\displaystyle \frac{2}{3}\alpha+\displaystyle \frac{1}{3}\)
を解いて、\(\alpha=1\)
より、
\(b_{ n+1 }-1=\displaystyle \frac{2}{3}(b_{ n }-1)\)
より、
\(b_{ n+1 }-1=\displaystyle \frac{2}{3}(b_{ n }-1)\)
したがって、数列 \(\{b_{ n }-1\}\) は、初項 \(b_{ 1 }-1\)、公比\(\displaystyle \frac{2}{3}\) の等比数列です。
②で \(b_{ n }=\displaystyle \frac{a_{ n }}{3^{n}}\)と置きましたね。
ですから、
\(b_{ 1 }-1=\displaystyle \frac{a_{ 1 }}{3^{1}}-1=-\displaystyle \frac{2}{3}\)・・・これが初項です。
つまり、数列 \(\{b_{ n }-1\}\) は、初項 \(-\displaystyle \frac{2}{3}\)、公比\(\displaystyle \frac{2}{3}\) の等比数列なので、
\(b_{ n }-1=-\displaystyle \frac{2}{3}\cdot(\displaystyle \frac{2}{3})^{n-1}\)
より、
\(b_{ n }=-(\displaystyle \frac{2}{3})^n+1\)
これと② \(b_{ n }=\displaystyle \frac{a_{ n }}{3^{n}}\) より、
\(a_{ n }=3^n-2^n\)