定積分と微分法
\(\displaystyle \int_a^x f(t) dt=F(x)-F(a)\)・・・①
つまり、\(\displaystyle \int_a^x f(t) dt\) は \(x\) の関数です。
①の両辺を微分すると、\(F(a)\) は定数なので \(0\) になるので
\(\displaystyle \frac{ d }{ dx }\displaystyle \int_a^x f(t) dt=f(x)\)
※\(\displaystyle \frac{ d }{ dx }\) は \(x\) で微分するという記号です。難しく考えないで暗記です。
上↑の式変形を見て、「だから何？」って思いますよね。
\(\displaystyle \int_a^x f(t) dt\) が出てきたら微分しよう！
そう覚えてもらえればＯＫです。
例題１
\(\displaystyle \int_1^x f(t) dt=x^2-3x+a\)
を満たす関数 \(f(x)\) および定数 \(a\) を求めなさい。
解説
\(\displaystyle \int_a^x f(t) dt\) が出てきたら微分する、これが解法知識です。
暗記してください。
与式の両辺を \(x\) で微分すると
\(\displaystyle \frac{ d }{ dx }\displaystyle \int_1^x f(t) dt=\displaystyle \frac{ d }{ dx }(x^2-3x+a)\)
より、
\(f(x)=2x-3\)
また、与式に \(x=1\) を代入すると、
\(\displaystyle \int_1^1 f(t) dt=1^2-3\cdot1+a\)
\(0=-2+a\)
よって、\(a=2\)
例題２
\(\displaystyle \int_a^x f(t) dt=x^2-2x-8\)
を満たす関数 \(f(x)\) および定数 \(a\) を求めなさい。
解説
与式の両辺を \(x\) で微分すると
\(\displaystyle \frac{ d }{ dx }\displaystyle \int_a^x f(t) dt=\displaystyle \frac{ d }{ dx }(x^2-2x-8)\)
より、
\(f(x)=2x-2\)
また、与式に \(x=a\) を代入すると、
\(\displaystyle \int_a^a f(t) dt=a^2-2a-8\)
\(0=a^2-2a-8\)
\(0=(a+2)(a-4)\)
よって、\(a=-2,4\)
参考
つまり、
\(\displaystyle \int_{-2}^x (2t-2) dt=x^2-2x-8\)
と
\(\displaystyle \int_4^x (2t-2) dt=x^2-2x-8\)
が条件を満たすということです。
計算して成立を確かめてみましょう。
\(\displaystyle \int_{-2}^x (2t-2) dt= \left[ t^2-2t \right]_{-2}^x= x^2-2x-8\)
\(\displaystyle \int_4^x (2t-2) dt= \left[ t^2-2t \right]_4^x= x^2-2x-8\)
確かに成り立っています。