対数関数
いよいよ対数関数について見ていきましょう。
対数関数とは \(y=\log_{ a } x\) です。
\(a\) を底、\(x\) を真数といいます。
\(a \gt 0\) \(a \neq 1\) で定義されます。
\(a\) を底とする \(x\) の対数関数といいます。
定義域は \(x \gt 0\) です。
真数である \(x\) は \(x \gt 0\) が鉄則です。
真数条件といいます。
対数関数のグラフ
\(y=\log_{ 2 } x\) という関数のグラフから、
対数関数の特徴についてを見ていきましょう。
まずは結論から見てしまいましょう。
\(y=\log_{ 2 } x\) のグラフは以下のようになります。
当然ですが、
\(y=\log_{ 2 } x\)
に、さまざまな数値を入れて計算してグラフを得ます。
\(x=8\) のとき \(y=3\)
\(x=4\) のとき \(y=2\)
\(x=2\) のとき \(y=1\)
\(x=1\) のとき \(y=0\)
\(x=\displaystyle \frac{1}{2}\) のとき \(y=-1\)
\(x=\displaystyle \frac{1}{4}\) のとき \(y=-2\)
などです。
そして、
\(x=0.1\) や \(x=0.01\) など、\(x \gt 0\) の範囲のあらゆる \(x\) で \(y\) の値が計算されます。
それらを座標として、無限個の点の集合が、\(y=\log_{ 2 } x\) のグラフとなります。
定義域は \(x \gt 0\) です。
\(x\)を \(0\) に近づくように小さくしていくと
\(y\) は、急激に小さくなります。
\(x=0\) つまり \(y\) 軸とは決して交わりません。
\(y\) 軸が漸近線となっています。
対数関数のグラフの概形
\(y\) 軸付近を正確にかくの大変です。
対数関数のグラフも指数関数のグラフのときと同様に、
大雑把な概形をとらえればＯＫで、あまり精密にかくことは必要ありません。
\(y=\log_{ 2 } x\) のグラフも下図のようにかいておけばＯＫです。
\(y=\log_{ 3 } x\) も、\(y=\log_{ 1.2 } x\) も、\(1 \lt a\) ならば、大雑把な概形は上のような
右上がりの単調増加のグラフになります。
指数関数と対数関数のグラフは対称
指数関数のグラフと直線 \(y=x\) で対称になっています。
指数関数のときと同様で、グラフの比率など、正確に書く必要はありません。
概形がわかればＯＫです。
対数関数 \(y=\log_{a } x\) 、\(0 \lt a \lt 1\) のグラフの概形
一方、\(0 \lt a \lt 1\) ならば、右下がりの単調減少のグラフになります。
例
\(y=\log_{\frac{1}{2} } x\)
こちらのグラフも \(y\) 軸を漸近線にもちます。
大きくわけて指数関数のグラフは、
上の \(2\) つに分類されます。他はありません。
対数関数のグラフのまとめ
\(y=\log_{ a } x\) のグラフ
\(2\) つのグラフは \(x\) 軸で線対称となっています。
どちらの場合にも共通な \(3\) つの性質を暗記しましょう。
定義域と値域
定義域は正の数全体、値域は実数全体
定義域 \(0 \lt x \lt \infty\)
値域 \(-\infty \lt x \lt \infty\)
※中学数学では変域と呼んでいたものです。
必ず通る \(2\) 点
必ず \((1,0)\) を通る。\(\log_{ a } 1=0\)
必ず \((a,1)\) を通る。 \(\log_{ a } a=1\)
\(y\) 軸を漸近線にもつ
グラフは \(y\) 軸に限りなく近づくが、決して接すること、交わることもない。
このことを、 \(y\) 軸を漸近線にもつ、といいます。
例題１
\(y=\log_{ 3 } x\) のグラフをかきなさい。
解説
まず暗記しておくべきことですが、
対数関数のグラフの概形です。
単調増加の曲線です。
※\(0 \lt a \lt 1\) ならば、単調減少です。
そして \(y\) 軸は漸近線です。
\(y\) 軸に沿ってグラフは崖から落ちていくような感じです。
決して交わりません。
そして、\(y=0,1\) は必ずかきましょう。
途中の値は計算してられません。
なめらかに曲線でつなげばOKです。
\(2\) 次関数のグラフもそうでしたね。
採点対象とはならないであろう、 \(y=-1\) も意識できるとなお良いでしょう。
グラフの比率など、正確にかくことは意識しないでよいです。