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対数を含む不等式

対数を含む不等式

対数不等式ともいわれます。

両辺を底が等しい対数で表し、真数を比較しましょう。

底 \(a\) が \(0 \lt a \lt 1\) のとき、真数の大小と対数の大小が逆になります。
底 \(a\) が \(1 \lt a \) のとき、真数の大小と対数の大小が一致します。

例題1

次の不等式を解きなさい。
\(\log_{ 2 } x \lt 4\)

解説

真数は正です。必ず。
これを真数条件といいます。

対数を扱っているときに、必ず意識しておかなければならない重要事項です。

解答は真数条件から書くようにしましょう。

真数は正であるから、\(0 \lt x\) ・・・①
\(\log_{ 2 } x \lt 4\)
\(\log_{ 2 } x \lt \log_{ 2 } 2^4 \)
底 \(2\) は \(1\) より大きいので、(この文言はとても大事です!!)
\(x \lt 2^4\)・・・不等号の向きはそのまま。真数の大小比較
\(x \lt 16\)
これと①より、
\(0 \lt x \lt 16\)

この回答の流れが「型」です。
きちんとマスターしましょう!

例題2

次の不等式を解きなさい。
\(\log_{ \frac{1}{2} } (x-2) \gt \log_{ \frac{1}{2} } (2x-3)\)

解説

真数条件より、\(x-2 \gt 0\) かつ \(2x-3 \gt 0\)
よって、\(x \gt \displaystyle \frac{2}{3}\)・・・①

\(\log_{ \frac{1}{2} } (x-2) \gt \log_{ \frac{1}{2} } (2x-3)\) で、

底 \(\displaystyle \frac{1}{2}\) が \(0 \lt \displaystyle \frac{1}{2} \lt 1\) なので、(この文言はとても大事です!!)

\(x-2 \lt 2x-3\)・・・真数の大小は、不等号の向きが逆になります!
\(1 \lt x\)

これと①より、\(1 \lt x\)

例題3

次の不等式を解きなさい。
\((\log_{ 3 } x )^2-\log_{ 3 } x^3+2 \lt 0\)

解説

真数条件より、 \(x\gt 0\) かつ \(x^3\gt 0\)
より、 \(x\gt 0\) ・・・①

\((\log_{ 3 } x )^2-\log_{ 3 } x^3+2 \lt 0\)
\((\log_{ 3 } x )^2-3\log_{ 3 } x+2 \lt 0\)
\(\log_{ 3 } x =t\) とおくと、\(t\) の範囲は実数全体です。
\(t^2-3t+2 \lt 0\)
\((t-1)(t-2) \lt 0\)
より、
\(1 \lt t \lt 2\)
したがって、
\(1 \lt \log_{ 3 } x \lt 2\)
\(\log_{ 3 } 3^1 \lt \log_{ 3 } x \lt \log_{ 3 } 3^2\)

底 \(3\) が \(1 \lt 3\) より、(この文言はとても大事です!!)
\(3^1 \lt x \lt 3^2\)・・・不等号の向きはそのまま。真数の大小比較
\(3 \lt x \lt 9\)・・・②

①、②より、
\(3 \lt x \lt 9\)

例題4

次の不等式を解きなさい。
\(\log_{ a } (3x-2) \lt \log_{ a } (x+2)\)

解説

真数条件より、\(3x-2 \gt 0\) かつ \(x+2 \gt 0\)
よって、\(x \gt \displaystyle \frac{2}{3}\)・・・①

\(\log_{ a } (3x-2) \lt \log_{ a } (x+2)\) ですが、
底 \(a\) の条件で場合分けします。

\(0 \lt a \lt 1\) のとき
\(\log_{ a } (3x-2) \lt \log_{ a } (x+2)\) より、
\(3x-2 \gt x+2\)・・・真数の大小は、不等号の向きが逆になります!
したがって、 \(x \gt 2\)・・・②
①、②より、 \(x \gt 2\)

\(1 \lt a\) のとき
\(\log_{ a } (3x-2) \lt \log_{ a } (x+2)\) より、
\(3x-2 \lt x+2\)・・・不等号の向きがそのまま。真数の大小比較
したがって、 \(x \lt 2\)・・・③
①、③より、 \(\displaystyle \frac{2}{3} \lt x \lt 2\)

以上より、
\(0 \lt a \lt 1\) のとき、 \(x \gt 2\)
\(1 \lt a\) のとき、\(\displaystyle \frac{2}{3} \lt x \lt 2\)

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