対数を含む不等式
対数不等式ともいわれます。
両辺を底が等しい対数で表し、真数を比較しましょう。
底 \(a\) が \(0 \lt a \lt 1\) のとき、真数の大小と対数の大小が逆になります。
底 \(a\) が \(1 \lt a \) のとき、真数の大小と対数の大小が一致します。
例題１
次の不等式を解きなさい。
\(\log_{ 2 } x \lt 4\)
解説
真数は正です。必ず。
これを真数条件といいます。
対数を扱っているときに、必ず意識しておかなければならない重要事項です。
解答は真数条件から書くようにしましょう。
真数は正であるから、\(0 \lt x\) ・・・①
\(\log_{ 2 } x \lt 4\)
\(\log_{ 2 } x \lt \log_{ 2 } 2^4 \)
底 \(2\) は \(1\) より大きいので、（この文言はとても大事です！！）
\(x \lt 2^4\)・・・不等号の向きはそのまま。真数の大小比較
\(x \lt 16\)
これと①より、
\(0 \lt x \lt 16\)
この回答の流れが「型」です。
きちんとマスターしましょう！
例題２
次の不等式を解きなさい。
\(\log_{ \frac{1}{2} } (x-2) \gt \log_{ \frac{1}{2} } (2x-3)\)
解説
真数条件より、\(x-2 \gt 0\) かつ \(2x-3 \gt 0\)
よって、\(x \gt \displaystyle \frac{2}{3}\)・・・①
\(\log_{ \frac{1}{2} } (x-2) \gt \log_{ \frac{1}{2} } (2x-3)\) で、
底 \(\displaystyle \frac{1}{2}\) が \(0 \lt \displaystyle \frac{1}{2} \lt 1\) なので、（この文言はとても大事です！！）
\(x-2 \lt 2x-3\)・・・真数の大小は、不等号の向きが逆になります！
\(1 \lt x\)
これと①より、\(1 \lt x\)
例題３
次の不等式を解きなさい。
\((\log_{ 3 } x )^2-\log_{ 3 } x^3+2 \lt 0\)
解説
真数条件より、 \(x\gt 0\) かつ \(x^3\gt 0\)
より、 \(x\gt 0\) ・・・①
\((\log_{ 3 } x )^2-\log_{ 3 } x^3+2 \lt 0\)
\((\log_{ 3 } x )^2-3\log_{ 3 } x+2 \lt 0\)
\(\log_{ 3 } x =t\) とおくと、\(t\) の範囲は実数全体です。
\(t^2-3t+2 \lt 0\)
\((t-1)(t-2) \lt 0\)
より、
\(1 \lt t \lt 2\)
したがって、
\(1 \lt \log_{ 3 } x \lt 2\)
\(\log_{ 3 } 3^1 \lt \log_{ 3 } x \lt \log_{ 3 } 3^2\)
底 \(3\) が \(1 \lt 3\) より、（この文言はとても大事です！！）
\(3^1 \lt x \lt 3^2\)・・・不等号の向きはそのまま。真数の大小比較
\(3 \lt x \lt 9\)・・・②
①、②より、
\(3 \lt x \lt 9\)
例題４
次の不等式を解きなさい。
\(\log_{ a } (3x-2) \lt \log_{ a } (x+2)\)
解説
真数条件より、\(3x-2 \gt 0\) かつ \(x+2 \gt 0\)
よって、\(x \gt \displaystyle \frac{2}{3}\)・・・①
\(\log_{ a } (3x-2) \lt \log_{ a } (x+2)\) ですが、
底 \(a\) の条件で場合分けします。
\(0 \lt a \lt 1\) のとき
\(\log_{ a } (3x-2) \lt \log_{ a } (x+2)\) より、
\(3x-2 \gt x+2\)・・・真数の大小は、不等号の向きが逆になります！
したがって、 \(x \gt 2\)・・・②
①、②より、 \(x \gt 2\)
\(1 \lt a\) のとき
\(\log_{ a } (3x-2) \lt \log_{ a } (x+2)\) より、
\(3x-2 \lt x+2\)・・・不等号の向きがそのまま。真数の大小比較
したがって、 \(x \lt 2\)・・・③
①、③より、 \(\displaystyle \frac{2}{3} \lt x \lt 2\)
以上より、
\(0 \lt a \lt 1\) のとき、 \(x \gt 2\)
\(1 \lt a\) のとき、\(\displaystyle \frac{2}{3} \lt x \lt 2\)