対数を含む方程式
対数方程式ともいわれます。
対数を扱うさい、真数条件から考えます。
真数は必ず正です。
ここから答案を書くことを心がけましょう。
両辺を底が等しい対数で表し、真数を比較しましょう。
例題１
次の方程式を解きなさい。
\(\log_{ \frac{1}{4} } (x-1)=\displaystyle \frac{1}{2} \)
解説
真数条件より、\(x \gt 1\) ・・・①
\(\log_{ \frac{1}{4} } (x-1)=\displaystyle \frac{1}{2} \) より、
\( (\displaystyle \frac{1}{4})^{\frac{1}{2} }=x-1\)
\(\sqrt{\displaystyle \frac{1}{4}}=x-1\)
\(\displaystyle \frac{1}{2} =x-1\)
\(x=\displaystyle \frac{3}{2} \)
これは①を満たしていので、\(x=\displaystyle \frac{3}{2} \)
※対数を指数に直して解きました。
対数のまま解くならば、底の等しい対数で表し、真数を比較します。
例題２
次の方程式を解きなさい。
\(\log_{ 2 } x+\log_{ 2 } (x+2)=3\)
解説
真数は正であるから、\(x \gt 0\) かつ \(x+2 \gt 0\)
つまり、\(x \gt 0\)・・・①
\(\log_{ 2 } x+\log_{ 2 } (x+2)=3\)
\(\log_{ 2 } x(x+2)=3\)
よって、
\(2^3=x(x+2)\)
\(8=x^2+2x\)
\(x^2+2x-8=0\)
\((x-2)(x+4)=0\)
より、
\(x=-4,2\)
\(x=-4\) は①の \(x \gt 0\) を満たさず不適。
\(x=2\) は①をみたす。
よって、\(x=2\)
例題３
次の方程式を解きなさい。
\((\log_{ 2 } x )^2-\log_{ 2 } x^3-10=0\)
解説
指数を含む方程式と、ほぼ同様の仕組みの問題ですから、
解き方の大筋は、自力でピンと来てほしい問題です。
真数は正であるから、\(x \gt 0\) かつ \(x^3 \gt 0\)
よって、\(x \gt 0\)・・・①
\((\log_{ 2 } x )^2-\log_{ 2 } x^3-10=0\)
\((\log_{ 2 } x )^2-3\log_{ 2 } x-10=0\)・・・②
\(\log_{ 2 } x=t\) とおくと、\(t\) の範囲は実数全体です。
②は、
\(t^2-3t-10=0\)
\((t-5)(t+2)=0\)
\(t=-2,5\)
\(t=-2\) のとき、
\(\log_{ 2 } x =-2\)
\(x=\displaystyle \frac{1}{2^2}=\displaystyle \frac{1}{4}\)
これは①を満たします。
\(t=5\) のとき、
\(\log_{ 2 } x =5\)
\(x=2^5=32\)
これも①を満たします。
以上より、\(x=32,\displaystyle \frac{1}{4}\)
例題４
次の方程式を解きなさい。
\(\log_{ 3 } \displaystyle \frac{x}{9} -3\log_{ x } 9=-3\)
解説
真数は正であるから、\(\displaystyle \frac{x}{9} \gt 0\)
つまり、 \(x \gt 0\)・・・①
\(\log_{ 3 } \displaystyle \frac{x}{9} -3\log_{ x } 9=-3\)
\(\log_{ 3 } x-\log_{ 3 } 9 -3\displaystyle \frac{\log_{ 3 } 9}{\log_{ 3 } x}=-3\)
\(\log_{ 3 } x-2 -3\displaystyle \frac{2}{\log_{ 3 } x}=-3\)
\(\log_{ 3 } x-\displaystyle \frac{6}{\log_{ 3 } x}+1=0\)
両辺に \(\log_{ 3 } x\) をかけると
\((\log_{ 3 } x)^2-6+\log_{ 3 } x=0\)
\(\log_{ 3 } x=t\) とおくと、\(t\) の範囲は実数全体です。
\(t^2-6+t=0\)
\((t-2)(t+3)=0\)
より、 \(t=-3,2\)
\(t=-3\) のとき、つまり \(\log_{ 3 } x=-3\) なので、
\(x=3^{-3}=\displaystyle \frac{1}{3^3}= \displaystyle \frac{1}{27}\)
これは①を満たします。
\(t=2\) のとき、つまり \(\log_{ 3 } x=2\) なので、
\(x=3^2=9\)
これも①を満たします。
以上より、\(x=\displaystyle \frac{1}{27},9\)