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常用対数

常用対数

常用対数とは底を \(10\) とする対数のことです。

\(10\) 進法を使う我々人類は、底を \(10\) とする対数を用いると
計算が便利になることが多かったのです。

よって、良く使う対数という意味で「常用対数」です。

例題1

\(\log_{ 10 } 2=a\)、\(\log_{ 10 } 3=b\)
とするとき、次の式を \(a,b\) で表しなさい。

(1)\(\log_{ 10 } 60\)

(2)\(\log_{ 10 } 15\)

(3)\(\log_{ 5 } 4.5\)

解説

当然、\(\log_{ 10 } 10=1\) なのです。
これも用います。
真数が \(2,3,10\) の積、商の組合せにするパズルです。

(1)\(\log_{ 10 } 60\)

\(\log_{ 10 } 60\)
\(=\log_{ 10 } (10×2×3)\)
\(=\log_{ 10 } 10+\log_{ 10 } 2+\log_{ 10 } 3\)
\(=1+a+b\)

(2)\(\log_{ 10 } 15\)

\(\log_{ 10 } 15\)

\(=\log_{ 10 } \displaystyle \frac{30}{2}\)

\(=\log_{ 10 } \displaystyle \frac{10×3}{2}\)

\(=\log_{ 10 } 10+\log_{ 10 } 3-\log_{ 10 } 2\)

\(=1+b-a\)

(3)\(\log_{ 5 } 4.5\)

\(\log_{ 5 } 4.5\)
底を \(10\) に変換します。

\(\displaystyle \frac{\log_{ 10 } 4.5}{\log_{ 10 } 5}\)

\(=\displaystyle \frac{\log_{ 10 } \displaystyle \frac{9}{2}}{\log_{ 10 } \displaystyle \frac{10}{2}}\)

\(=\displaystyle \frac{\log_{ 10 } 9-\log_{ 10 } 2}{\log_{ 10 } 10-\log_{ 10 } 2}\)

\(=\displaystyle \frac{\log_{ 10 } 3^2-a}{1-a}\)

\(=\displaystyle \frac{2\log_{ 10 } 3-a}{1-a}\)

\(=\displaystyle \frac{2b-a}{1-a}\)

例題2

\(\log_{ 10 } 2 =0.3010\) 、\(\log_{ 10 } 3 =0.4771\) として、次の値を求めなさい。

(1)\(\log_{ 10 } 0.2 \)
(2)\(\log_{ 10 } \sqrt{72} \)
(3)\(\log_{ 10 } 15 \)

解説

例題 \(1\) と同様です。
\(\log_{ 10 } 10=1\) も利用します。

(1)\(\log_{ 10 } 0.2 \)

\(\log_{ 10 } 0.2 \)
\(=\log_{ 10 } (2×0.1) \)
\(=\log_{ 10 } 2+\log_{ 10 } 0.1 \)
\(=\log_{ 10 } 2+\log_{ 10 } 10^{-1} \)
\(=0.3010-1\)
\(=-0.6990\)

(2)\(\log_{ 10 } \sqrt{72} \)

\(\log_{ 10 } \sqrt{72} \)

\(=\log_{ 10 } 72^{\frac{1}{2}} \)

\(=\displaystyle \frac{1}{2} \log_{ 10 } 72\)

\(=\displaystyle \frac{1}{2} \log_{ 10 } (2^3×3^2)\)

\(=\displaystyle \frac{1}{2} (\log_{ 10 } 2^3+\log_{ 10 } 3^2)\)

\(=\displaystyle \frac{1}{2} (3\log_{ 10 } 2+2\log_{ 10 } 3)\)

\(=\displaystyle \frac{1}{2} (3×0.3010+2×0.4771)\)

\(=0.9286\)

(3)\(\log_{ 10 } 15 \)

\(2,3,10\) の積、商で \(15\) をつくります。

\(15=\displaystyle \frac{3×10}{2}\) ですね。

\(\log_{ 10 } 15 \)

\(=\log_{ 10 } \displaystyle \frac{3×10}{2}\)

\(=\log_{ 10 } 3+ \log_{ 10 } 10 – \log_{ 10 } 2 \)

\(=0.4771+1-0.3010\)

\(=1.1761\)

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