常用対数
常用対数とは底を \(10\) とする対数のことです。
\(10\) 進法を使う我々人類は、底を \(10\) とする対数を用いると
計算が便利になることが多かったのです。
よって、良く使う対数という意味で「常用対数」です。
例題１
\(\log_{ 10 } 2=a\)、\(\log_{ 10 } 3=b\)
とするとき、次の式を \(a,b\) で表しなさい。
（１）\(\log_{ 10 } 60\)
（２）\(\log_{ 10 } 15\)
（３）\(\log_{ 5 } 4.5\)
解説
当然、\(\log_{ 10 } 10=1\) なのです。
これも用います。
真数が \(2,3,10\) の積、商の組合せにするパズルです。
（１）\(\log_{ 10 } 60\)
\(\log_{ 10 } 60\)
\(=\log_{ 10 } (10×2×3)\)
\(=\log_{ 10 } 10+\log_{ 10 } 2+\log_{ 10 } 3\)
\(=1+a+b\)
（２）\(\log_{ 10 } 15\)
\(\log_{ 10 } 15\)
\(=\log_{ 10 } \displaystyle \frac{30}{2}\)
\(=\log_{ 10 } \displaystyle \frac{10×3}{2}\)
\(=\log_{ 10 } 10+\log_{ 10 } 3-\log_{ 10 } 2\)
\(=1+b-a\)
（３）\(\log_{ 5 } 4.5\)
\(\log_{ 5 } 4.5\)
底を \(10\) に変換します。
\(\displaystyle \frac{\log_{ 10 } 4.5}{\log_{ 10 } 5}\)
\(=\displaystyle \frac{\log_{ 10 } \displaystyle \frac{9}{2}}{\log_{ 10 } \displaystyle \frac{10}{2}}\)
\(=\displaystyle \frac{\log_{ 10 } 9-\log_{ 10 } 2}{\log_{ 10 } 10-\log_{ 10 } 2}\)
\(=\displaystyle \frac{\log_{ 10 } 3^2-a}{1-a}\)
\(=\displaystyle \frac{2\log_{ 10 } 3-a}{1-a}\)
\(=\displaystyle \frac{2b-a}{1-a}\)
例題２
\(\log_{ 10 } 2 =0.3010\) 、\(\log_{ 10 } 3 =0.4771\) として、次の値を求めなさい。
（１）\(\log_{ 10 } 0.2 \)
（２）\(\log_{ 10 } \sqrt{72} \)
（３）\(\log_{ 10 } 15 \)
解説
例題 \(1\) と同様です。
\(\log_{ 10 } 10=1\) も利用します。
（１）\(\log_{ 10 } 0.2 \)
\(\log_{ 10 } 0.2 \)
\(=\log_{ 10 } (2×0.1) \)
\(=\log_{ 10 } 2+\log_{ 10 } 0.1 \)
\(=\log_{ 10 } 2+\log_{ 10 } 10^{-1} \)
\(=0.3010-1\)
\(=-0.6990\)
（２）\(\log_{ 10 } \sqrt{72} \)
\(\log_{ 10 } \sqrt{72} \)
\(=\log_{ 10 } 72^{\frac{1}{2}} \)
\(=\displaystyle \frac{1}{2} \log_{ 10 } 72\)
\(=\displaystyle \frac{1}{2} \log_{ 10 } (2^3×3^2)\)
\(=\displaystyle \frac{1}{2} (\log_{ 10 } 2^3+\log_{ 10 } 3^2)\)
\(=\displaystyle \frac{1}{2} (3\log_{ 10 } 2+2\log_{ 10 } 3)\)
\(=\displaystyle \frac{1}{2} (3×0.3010+2×0.4771)\)
\(=0.9286\)
（３）\(\log_{ 10 } 15 \)
\(2,3,10\) の積、商で \(15\) をつくります。
\(15=\displaystyle \frac{3×10}{2}\) ですね。
\(\log_{ 10 } 15 \)
\(=\log_{ 10 } \displaystyle \frac{3×10}{2}\)
\(=\log_{ 10 } 3+ \log_{ 10 } 10 – \log_{ 10 } 2 \)
\(=0.4771+1-0.3010\)
\(=1.1761\)