例題
次の計算をしなさい。
\((\log_{ 2 } 9+\log_{ 8 } 3)(\log_{ 3 } 2- \log_{ 9 } 8)\)
解説
とにかく底をそろえて計算をしてみる他ないな・・・
こんな感じで解きはじめます。
底を \(2\) か \(3\) のどちらにしようかな・・・
と迷う所でしょうか。
結論を先にかいてしまえば、底は \(2\) でも \(3\) でも解けますし、
実は、どんな値にしても解けます。
では、底を \(2\) に変換して計算してみましょう。
\((\log_{ 2 } 9+\log_{ 8 } 3)(\log_{ 3 } 2- \log_{ 9 } 8)\)
\(=(\log_{ 2 } 3^2+\displaystyle \frac{\log_{ 2 } 3}{\log_{ 2 } 2^3})(\displaystyle \frac{\log_{ 2 } 2}{\log_{ 2 } 3}- \displaystyle \frac{\log_{ 2 } 2^3}{\log_{ 2 } 3^2})\)
\(=(2\log_{ 2 } 3+\displaystyle \frac{\log_{ 2 } 3}{3})(\displaystyle \frac{1}{\log_{ 2 } 3}- \displaystyle \frac{3}{2\log_{ 2 } 3})\)
この先は、\(4\) 回かけ算をして、（ ）をはずしてもＯＫ。
いわゆる展開です。
あるいは、\(( )\) の中をまとめます。
こちらでいきましょう。
\(=(2+\displaystyle \frac{1 }{ 3})\log_{ 2 } 3 ×(1- \displaystyle \frac{3}{2})\displaystyle \frac{1}{\log_{ 2 } 3}\)
\(=\displaystyle \frac{7}{ 3}\log_{ 2 } 3 ×(-\displaystyle \frac{1}{2\log_{ 2 } 3})\)
\(=-\displaystyle \frac{7}{6}\)
例題２
次の計算をせよ。
\(\log_{ 3 } 5 \cdot \log_{ 5 } 7 \cdot \log_{ 7 } 3\)
解説
これも底は何に変換してもとけます。
底を \(a\) に変換すると、
\(\log_{ 3 } 5 \cdot \log_{ 5 } 7 \cdot \log_{ 7 } 3\)
\(=\displaystyle \frac{\log_{ a } 5}{\log_{ a } 3} \cdot \displaystyle \frac{\log_{ a } 7}{\log_{ a } 5} \cdot \displaystyle \frac{\log_{ a } 3}{\log_{ a } 7}\)
\(=1\)
約分で消えましたね。
このように \(a\) を底で解いてもよいし、 \(3\) を底にしても解けます。