指数方程式 不等式 その２
例題１
次の方程式を解きなさい。
\(9^x+3^x-12=0\)
解説
はじめて見た人にはどうしたらいいか,
まったくわからない式に見えると思いますが、
パターン化されただけの定番問題です。
このような問題はこうやって解いてね、
というパターン問題は、高校数学にはたくさんあって、
本問もその \(1\) つです。
深く考えないで、以下の解法を読んで覚えちゃってください。
解答
底をそろえれば解ける！！
という発想は常に持っていてください。
すると、底は \(3\) にそろえられそうじゃないですか。
\(9^x=(3^2)^x=3^{2x}=(3^x)^2\) とします。
すると、与式は、
\((3^x)^2+3^x-12=0\)
です。うまくいきました。
\(3^x=t\) とおけば、
\(t^2+t-12=0\)
という \(2\) 次方程式になります。
あとはこの \(2\) 次方程式を解けばＯＫです。
ここでとても大事なことがあります。
\(3^x=t\) とおいたので、
\(0 \lt t\) という範囲があります。
これを必ず答案に明記すること！
これがとてもとても大事なことです。
では続きを解きましょう。
\(t^2+t-12=0\)
\((t-3)(t+4)=0\)
より、\(t=-4,3\)
\(0 \lt t\) なので、 \(t=3\)
\(3^x=t\) とおいたので、
すなわち、
\(3^x=3\)
よって、\(x=1\)
これで指数方程式が解けました。
さて、うまく解けましたね。
「うまく解けるような問題」だけが出題されているのですから、
なんでだろう？みたいな疑問を持つ必要はありません。
高校数学の定番パターンとして覚えるだけでＯＫです。
例題２
次の不等式を解きなさい。
\(2^{2x+1}-7\cdot2^x-4 \lt 0\)
注 \(7\cdot2^x =7×2^x\) です。
解説
例題 \(1\) と同様の解法で解きます。
「\(2\) 次方程式に帰着させる」
これが知識として覚えておくべきことです。
その後の計算は \(1\)つ \(1\) つ覚えるようなことではありません。
その場で自力で解き進めていくだけの力がないといけません。
ですから、例題２は例題１と同様に解けばいい、という知識の下に
自ら解決してほしいと思います。
「受験数学はまず暗記ありき]ですが、
\(100\) 問も \(1000\) 問も、個々の細かいケースを暗記するわけではありません。
さて解答です。
\(2^{2x+1}-7\cdot2^x-4 \lt 0 \)
\(2\cdot2^{2x}-7\cdot2^x-4 \lt 0 \)
\(2\cdot(2^x)^2-7\cdot2^x-4 \lt 0 \)
\(2^x=t\) とおくと \(0\lt t\)
\(2t^2-7t-4 \lt 0\)
\((2t+1)(t-4) \lt 0\)
よって、
\(-\displaystyle \frac{1}{2} \lt t \lt 4\)
\(0\lt t\) なので、
\(0 \lt t \lt 4\)
すなわち
\(0 \lt 2^x \lt 4\)
\(0 \lt 2^x \lt 2^2\)
底 \(2\) は \(1\) より大きいので、
\(x \lt 2\)
これで求まりました。