積分と積分定数の決定
積分をして、もとの関数を求める問題を学習します。
\(f(x)\) を積分すると、\(F(x)+C\) (\(C\) は積分定数)
つまり、これだけでは \(1\) つには定まりません。
もう \(1\) つ条件が付加されることで関数が決定されます。
例題１
次の条件を満たす関数 \(F(x)\) を求めなさい。
\(F´(x)=x^2-x+1\)
\(F(0)=2\)
解説
\(F(x)=\displaystyle \int F´(x) dx\)
\(=\displaystyle \int (x^2-x+1) dx\)
\(=\displaystyle \frac{1}{3}x^3-\displaystyle \frac{1}{2}x^2+x+C\) (\(C\) は積分定数)
\(F(0)=2\) なので、
\(F(0)=\displaystyle \frac{1}{3}\cdot 0^3-\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 0^2+0+C=2\)
したがって、\(C=2\)
よって、
\(F(x)=\displaystyle \frac{1}{3}x^3-\displaystyle \frac{1}{2}x^2+x+2\)
例題２
点 \((1,-1)\) を通る曲線 \(y=f(x)\) がある。この曲線上の点 \((x,y)\) における接線の傾きは \(3x^2+x-1\) であるとき、この曲線の方程式を求めなさい。
解説
\(f´(x)=3x^2+x-1\) より、
\(f(x)=\displaystyle \int f´(x) dx\)
\(=\displaystyle \int (3x^2+x-1)dx\)
\(=x^3+\displaystyle \frac{1}{2}x^2-x+C\) (\(C\) は積分定数)
また、曲線 \(y=f(x)\) は、点 \((1,-1)\) を通るので、
\(f(1)=-1\)
したがって
\(f(1)=1^3+\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 1^2-1+C=-1\)
より、 \(C=-\displaystyle \frac{3}{2}\)
よって、もとめる曲線の方程式は
\(y=x^3+\displaystyle \frac{1}{2}x^2-x-\displaystyle \frac{3}{2}\)