連立不等式

連立不等式

例題１

次の連立不等式を解きなさい。

\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 4x+2 \leqq 3x-3 \\ -x-7 \lt x+9\ \end{array} \right.\end{eqnarray}\)

解説

それぞれの不等式を解き、解を数直線上に表します。
その共通範囲を求めます。

\(4x+2 \leqq 3x-3\) を解くと、\(x \leqq -5\)・・・①

\(-x-7 \lt x+9\) を解くと、\(-8 \lt x\)・・・②

①、②を数直線上に表すと

よって、
\(-8 \lt x \leqq -5\)

例題２

次の連立不等式を解きなさい。
\(-3x+1 \lt x \lt 2x-2\)

解説

\(A \lt B \lt C\)
は、連立不等式
\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} A \lt B\ \\ B \lt C \end{array} \right.\end{eqnarray}\)
と同じことです。

つまり、
\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} -3x+1 \lt x\ \\ x \lt 2x-2 \end{array} \right.\end{eqnarray}\)
を解きます。

\(-3x+1 \lt x \) を解いて、\(x \gt \displaystyle \frac{1}{4}\)・・・①

\(x \lt 2x-2\) を解いて、\(x \gt 2\)・・・②

①、②を数直線上に表すと

よって、
\(x \gt 2\)

例題３

連立不等式
\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} -x+2 \gt -3x \\ x-a \leqq 0\ \end{array} \right.\end{eqnarray}\)

を満たす整数 \(x\) がちょうど \(3\) 個存在するような定数 \(a\) の値の範囲を求めなさい。

解説

\( -x+2 \gt -3x\) を解いて、\(x \gt -1\)
\(x-a \leqq 0\) を解いて、\(x \leqq a\)
共通部分を図示します。

この範囲に整数が \(3\) 個なので、その \(3\) 個の整数は \(0,1,2\) となります。
\(a\) も含めるので、最小の \(a\) は \(a=2\) のとき

最大の \(a\) は \(a=2.999\cdots\) のとき

つまり、定数 \(a\) の値の範囲は
\(2 \leqq a \lt 3\)