虚数単位

負の数の平方根の世界へ

負の数の平方根を認めるのならば、そのような数の世界はどうなっているのかを知らねば使い物になりません。
\(\sqrt{-1}\) や
\(\sqrt{-2}\) や
\(\sqrt{-3}\) や
\(\sqrt{-\displaystyle \frac{1}{2}}\) などは
どのような計算規則に従うのか、これについて学習していきましょう。

これらについては、もちろん先人たちが調べ尽くしています。
そして、矛盾のない美しい世界が広がっていることが判明しています。

私たちはその結果を、ありがたく頂戴するのです。

虚数単位 \(i\) の導入

\(x^2=-1\)
の解の \(1\) つ、 \(\sqrt{-1}\) を虚数単位といい \(i\) で表します。
もう \(1\) つの解は \(-\sqrt{-1}=-i\) です。
※虚数（きょすう）単位（たんい）と読みます。

つまり、
\(i=\sqrt{-1}\)
\(i^2=-1\)
です。

いきなり、なんでこんなものを定義するの？
どうしてわかったの？

という疑問も生まれる所かもしれませんが、

この虚数単位 \(i\) の導入の理由は、数学的必然ではなく

表記上とても優れているから

です。
これを定義することで、とても計算がやりやすくなるのです。
まさに先人の知恵です。とにかく覚えてしまいましょう。

根本の定義のところについての「なぜ？」は、ある程度習熟してから、どうしても気になる人が考えてみてください。

虚数単位 \(i\) の計算規則

虚数単位 \(i\) について、さらに以下のような計算規則が成り立ちます。

\(i+i=2i\)
\(2×i=2i\)
\(i×2=2i\)
\(\sqrt{-2}=\sqrt{2}i\)
\(\sqrt{-a}=\sqrt{a}i\)

要は、基本的には普通に文字式の計算のように扱う、ということです。
普通の文字式との違いは、

\(i^2=-1\)
\(\sqrt{-a}=\sqrt{a}i\)

の \(2\) 点です。この \(2\) 点を強く覚えてください。

複素数の定義

\(a,b\) を実数として、\(a+bi\) の形で表される数を複素数といいます。
実数と対になる言葉として、虚数ともいいます。

複素数 \(a+bi\) の \(a\) を実部、\(bi\) を虚部といいます。
実部と虚部という複数の要素でつくられる数、それが複素数です。

・\(b=0\) のとき
複素数は実部 \(a\) のみになり、これがよく知っている実数です。

・\(a=0\) のとき
複素数は嘘部 \(bi\) のみになり、これを純虚数といいます。

この \(a+bi\) のような実数と虚数を組合わせた数が必要であることは、
前回 、\(2\) 次方程式の解を考察したことからも明らかです。

例題１

次の複素数について、実部と虚部をそれぞれ答えなさい。
（１）\(-3+2i\)
（２）\(-i\)

解説

（１）\(-3+2i\)

実部　\(-3\)
虚部 \(2i\)

（２）\(-i\)

\(0-1\cdot i\) のことです。
実部 \(0\)
虚部 \(-i\)

例題２

次の等式を満たす実数 \(a,b\) の値を求めなさい。
（１）\((a+1)+(b-2)i=3i\)

（２）\((1-i)a+(3-2i)b=1+2i\)

解説

\(2\) つの複素数が等しいならば、
実部同士が等しく、虚部同士が等しくなくてはならない。
これを「複素数の相当」といいます。

堅苦しく考えないでＯＫです。直感通りじゃないですか。
実部と虚部はまったく別。互いに混ざることはないということの保証です。

（１）\((a+1)+(b-2)i=3i\)

\(a,b\) は実数なので、
\(a+1,b-2\) も実数である。
したがって、
\(a+1=0\)・・・両辺の実部の比較です。
\(b-2=3\)・・・両辺の嘘部の比較です。
よって、\(a=-1,b=5\)

（２）\((1-i)a+(3-2i)b=1+2i\)

左辺を \(i\) について整理します。
\((1-i)a+(3-2i)b=1+2i\)
\(a-ai+3b-2bi=1+2i\)
\((a+3b)+(-a-2b)i=1+2i\)
\(a,b\) は実数なので、
\(a+3b,-a-2b\) も実数である。
したがって、
\(a+3b=1\)・・・両辺の実部の比較です。
\(-a-2b=2\)・・・両辺の嘘部の比較です。
これを解いて、\(a=-8,b=3\)